Lös 9x^2-48x+68=0

$$9 x ^ { 2 } - 48 x + 68 = 0$$

Lös ut x (complex solution)

$$x=\frac{8}{3}+\frac{2}{3}i\approx 2,666666667+0,666666667i$$

$$x=\frac{8}{3}-\frac{2}{3}i\approx 2,666666667-0,666666667i$$

Steg med lösningsformeln

Alla ekvationer på formen ax^{2}+bx+c=0 kan lösas med hjälp av lösningsformeln: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Lösningsformeln ger två lösningar, en när ± är addition och en när det är subtraktion.

$$9x^{2}-48x+68=0$$

Den här ekvationen är skriven i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersätt a med 9, b med -48 och c med 68 i andragradsekvationen \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-48\right)±\sqrt{\left(-48\right)^{2}-4\times 9\times 68}}{2\times 9}$$

Kvadrera -48.

$$x=\frac{-\left(-48\right)±\sqrt{2304-4\times 9\times 68}}{2\times 9}$$

Multiplicera -4 med 9.

$$x=\frac{-\left(-48\right)±\sqrt{2304-36\times 68}}{2\times 9}$$

Multiplicera -36 med 68.

$$x=\frac{-\left(-48\right)±\sqrt{2304-2448}}{2\times 9}$$

Addera 2304 till -2448.

$$x=\frac{-\left(-48\right)±\sqrt{-144}}{2\times 9}$$

Dra kvadratroten ur -144.

$$x=\frac{-\left(-48\right)±12i}{2\times 9}$$

Motsatsen till -48 är 48.

$$x=\frac{48±12i}{2\times 9}$$

Multiplicera 2 med 9.

$$x=\frac{48±12i}{18}$$

Lös nu ekvationen x=\frac{48±12i}{18} när ± är plus. Addera 48 till 12i.

$$x=\frac{48+12i}{18}$$

Dela 48+12i med 18.

$$x=\frac{8}{3}+\frac{2}{3}i$$

Lös nu ekvationen x=\frac{48±12i}{18} när ± är minus. Subtrahera 12i från 48.

$$x=\frac{48-12i}{18}$$

Dela 48-12i med 18.

$$x=\frac{8}{3}-\frac{2}{3}i$$

Ekvationen har lösts.

$$x=\frac{8}{3}+\frac{2}{3}i x=\frac{8}{3}-\frac{2}{3}i$$

Steg för kvadratkomplettering

Andragradsekvationer som den här kan lösas med hjälp av kvadratkomplettering. För kvadratkomplettering måste ekvationen först skrivas om på formen x^{2}+bx=c.

$$9x^{2}-48x+68=0$$

Subtrahera 68 från båda ekvationsled.

$$9x^{2}-48x+68-68=-68$$

Subtraktion av 68 från sig självt ger 0 som resultat.

$$9x^{2}-48x=-68$$

Dividera båda led med 9.

$$\frac{9x^{2}-48x}{9}=-\frac{68}{9}$$

Division med 9 tar ut multiplikationen med 9.

$$x^{2}+\left(-\frac{48}{9}\right)x=-\frac{68}{9}$$

Minska bråktalet \frac{-48}{9} till de lägsta termerna genom att extrahera och eliminera 3.

$$x^{2}-\frac{16}{3}x=-\frac{68}{9}$$

Dividera -\frac{16}{3}, koefficienten för termen x, med 2 för att få -\frac{8}{3}. Addera sedan kvadraten av -\frac{8}{3} till båda ekvationsleden. Det här steget gör ekvationens vänstra sida till en jämn kvadrat.

$$x^{2}-\frac{16}{3}x+\left(-\frac{8}{3}\right)^{2}=-\frac{68}{9}+\left(-\frac{8}{3}\right)^{2}$$

Kvadrera -\frac{8}{3} genom att kvadrera både täljaren och nämnaren i bråktalet.

$$x^{2}-\frac{16}{3}x+\frac{64}{9}=\frac{-68+64}{9}$$

Addera -\frac{68}{9} till \frac{64}{9} genom att hitta en gemensam nämnare och sedan addera täljarna. Förkorta sedan bråktalet till lägsta term om det går.

$$x^{2}-\frac{16}{3}x+\frac{64}{9}=-\frac{4}{9}$$

Faktorisera x^{2}-\frac{16}{3}x+\frac{64}{9}. I allmänhet kan den alltid faktoriseras som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} när x^{2}+bx+c är en perfekt kvadrat.

$$\left(x-\frac{8}{3}\right)^{2}=-\frac{4}{9}$$

Dra kvadratroten ur båda ekvationsled.

$$\sqrt{\left(x-\frac{8}{3}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{4}{9}}$$

Förenkla.

$$x-\frac{8}{3}=\frac{2}{3}i x-\frac{8}{3}=-\frac{2}{3}i$$

Addera \frac{8}{3} till båda ekvationsled.

$$x=\frac{8}{3}+\frac{2}{3}i x=\frac{8}{3}-\frac{2}{3}i$$