Lös 9x^2-4x-2=0

$$9 x ^ { 2 } - 4 x - 2 = 0$$

Lös ut x

$$x=\frac{\sqrt{22}+2}{9}\approx 0,743379529$$

$$x=\frac{2-\sqrt{22}}{9}\approx -0,298935084$$

Steg med lösningsformeln

Alla ekvationer på formen ax^{2}+bx+c=0 kan lösas med hjälp av lösningsformeln: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Lösningsformeln ger två lösningar, en när ± är addition och en när det är subtraktion.

$$9x^{2}-4x-2=0$$

Den här ekvationen är skriven i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersätt a med 9, b med -4 och c med -2 i andragradsekvationen \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{\left(-4\right)^{2}-4\times 9\left(-2\right)}}{2\times 9}$$

Kvadrera -4.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16-4\times 9\left(-2\right)}}{2\times 9}$$

Multiplicera -4 med 9.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16-36\left(-2\right)}}{2\times 9}$$

Multiplicera -36 med -2.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16+72}}{2\times 9}$$

Addera 16 till 72.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{88}}{2\times 9}$$

Dra kvadratroten ur 88.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±2\sqrt{22}}{2\times 9}$$

Motsatsen till -4 är 4.

$$x=\frac{4±2\sqrt{22}}{2\times 9}$$

Multiplicera 2 med 9.

$$x=\frac{4±2\sqrt{22}}{18}$$

Lös nu ekvationen x=\frac{4±2\sqrt{22}}{18} när ± är plus. Addera 4 till 2\sqrt{22}.

$$x=\frac{2\sqrt{22}+4}{18}$$

Dela 4+2\sqrt{22} med 18.

$$x=\frac{\sqrt{22}+2}{9}$$

Lös nu ekvationen x=\frac{4±2\sqrt{22}}{18} när ± är minus. Subtrahera 2\sqrt{22} från 4.

$$x=\frac{4-2\sqrt{22}}{18}$$

Dela 4-2\sqrt{22} med 18.

$$x=\frac{2-\sqrt{22}}{9}$$

Ekvationen har lösts.

$$x=\frac{\sqrt{22}+2}{9} x=\frac{2-\sqrt{22}}{9}$$

Steg för kvadratkomplettering

Andragradsekvationer som den här kan lösas med hjälp av kvadratkomplettering. För kvadratkomplettering måste ekvationen först skrivas om på formen x^{2}+bx=c.

$$9x^{2}-4x-2=0$$

Addera 2 till båda ekvationsled.

$$9x^{2}-4x-2-\left(-2\right)=-\left(-2\right)$$

Subtraktion av -2 från sig självt ger 0 som resultat.

$$9x^{2}-4x=-\left(-2\right)$$

Subtrahera -2 från 0.

$$9x^{2}-4x=2$$

Dividera båda led med 9.

$$\frac{9x^{2}-4x}{9}=\frac{2}{9}$$

Division med 9 tar ut multiplikationen med 9.

$$x^{2}-\frac{4}{9}x=\frac{2}{9}$$

Dividera -\frac{4}{9}, koefficienten för termen x, med 2 för att få -\frac{2}{9}. Addera sedan kvadraten av -\frac{2}{9} till båda ekvationsleden. Det här steget gör ekvationens vänstra sida till en jämn kvadrat.

$$x^{2}-\frac{4}{9}x+\left(-\frac{2}{9}\right)^{2}=\frac{2}{9}+\left(-\frac{2}{9}\right)^{2}$$

Kvadrera -\frac{2}{9} genom att kvadrera både täljaren och nämnaren i bråktalet.

$$x^{2}-\frac{4}{9}x+\frac{4}{81}=\frac{2}{9}+\frac{4}{81}$$

Addera \frac{2}{9} till \frac{4}{81} genom att hitta en gemensam nämnare och sedan addera täljarna. Förkorta sedan bråktalet till lägsta term om det går.

$$x^{2}-\frac{4}{9}x+\frac{4}{81}=\frac{22}{81}$$

Faktorisera x^{2}-\frac{4}{9}x+\frac{4}{81}. I allmänhet kan den alltid faktoriseras som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} när x^{2}+bx+c är en perfekt kvadrat.

$$\left(x-\frac{2}{9}\right)^{2}=\frac{22}{81}$$

Dra kvadratroten ur båda ekvationsled.

$$\sqrt{\left(x-\frac{2}{9}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{22}{81}}$$

Förenkla.

$$x-\frac{2}{9}=\frac{\sqrt{22}}{9} x-\frac{2}{9}=-\frac{\sqrt{22}}{9}$$

Addera \frac{2}{9} till båda ekvationsled.

$$x=\frac{\sqrt{22}+2}{9} x=\frac{2-\sqrt{22}}{9}$$