Lös 9x^2-24x+16=0

$$9 x ^ { 2 } - 24 x + 16 = 0$$

Lös ut x

$$x = \frac{4}{3} = 1\frac{1}{3} \approx 1,333333333$$

Steg med faktorisering genom gruppering

För att lösa ekvationen kan du faktor den vänstra delen med hjälp av gruppering. Första, vänstra sidan måste skrivas om som 9x^{2}+ax+bx+16. Konfigurera ett system som ska lösas om du vill söka efter a och b.

$$a+b=-24 ab=9\times 16=144$$

Eftersom ab är positivt a och b ha samma tecken. Eftersom a+b är negativt är a och b negativa. Lista alla sådana heltalspar som ger produkten 144.

$$-1,-144 -2,-72 -3,-48 -4,-36 -6,-24 -8,-18 -9,-16 -12,-12$$

Beräkna summan för varje par.

$$-1-144=-145 -2-72=-74 -3-48=-51 -4-36=-40 -6-24=-30 -8-18=-26 -9-16=-25 -12-12=-24$$

Lösningen är det par som ger Summa -24.

$$a=-12 b=-12$$

Skriv om 9x^{2}-24x+16 som \left(9x^{2}-12x\right)+\left(-12x+16\right).

$$\left(9x^{2}-12x\right)+\left(-12x+16\right)$$

Utfaktor 3x i den första och den -4 i den andra gruppen.

$$3x\left(3x-4\right)-4\left(3x-4\right)$$

Bryt ut den gemensamma termen 3x-4 genom att använda distributivitet.

$$\left(3x-4\right)\left(3x-4\right)$$

Skriv om som en binomkvadrat.

$$\left(3x-4\right)^{2}$$

Lös 3x-4=0 för att hitta ekvationslösning.

$$x=\frac{4}{3}$$

Steg med lösningsformeln

Alla ekvationer på formen ax^{2}+bx+c=0 kan lösas med hjälp av lösningsformeln: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Lösningsformeln ger två lösningar, en när ± är addition och en när det är subtraktion.

$$9x^{2}-24x+16=0$$

Den här ekvationen är skriven i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersätt a med 9, b med -24 och c med 16 i andragradsekvationen \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-24\right)±\sqrt{\left(-24\right)^{2}-4\times 9\times 16}}{2\times 9}$$

Kvadrera -24.

$$x=\frac{-\left(-24\right)±\sqrt{576-4\times 9\times 16}}{2\times 9}$$

Multiplicera -4 med 9.

$$x=\frac{-\left(-24\right)±\sqrt{576-36\times 16}}{2\times 9}$$

Multiplicera -36 med 16.

$$x=\frac{-\left(-24\right)±\sqrt{576-576}}{2\times 9}$$

Addera 576 till -576.

$$x=\frac{-\left(-24\right)±\sqrt{0}}{2\times 9}$$

Dra kvadratroten ur 0.

$$x=-\frac{-24}{2\times 9}$$

Motsatsen till -24 är 24.

$$x=\frac{24}{2\times 9}$$

Multiplicera 2 med 9.

$$x=\frac{24}{18}$$

Minska bråktalet \frac{24}{18} till de lägsta termerna genom att extrahera och eliminera 6.

$$x=\frac{4}{3}$$

Steg för kvadratkomplettering

Andragradsekvationer som den här kan lösas med hjälp av kvadratkomplettering. För kvadratkomplettering måste ekvationen först skrivas om på formen x^{2}+bx=c.

$$9x^{2}-24x+16=0$$

Subtrahera 16 från båda ekvationsled.

$$9x^{2}-24x+16-16=-16$$

Subtraktion av 16 från sig självt ger 0 som resultat.

$$9x^{2}-24x=-16$$

Dividera båda led med 9.

$$\frac{9x^{2}-24x}{9}=-\frac{16}{9}$$

Division med 9 tar ut multiplikationen med 9.

$$x^{2}+\left(-\frac{24}{9}\right)x=-\frac{16}{9}$$

Minska bråktalet \frac{-24}{9} till de lägsta termerna genom att extrahera och eliminera 3.

$$x^{2}-\frac{8}{3}x=-\frac{16}{9}$$

Dividera -\frac{8}{3}, koefficienten för termen x, med 2 för att få -\frac{4}{3}. Addera sedan kvadraten av -\frac{4}{3} till båda ekvationsleden. Det här steget gör ekvationens vänstra sida till en jämn kvadrat.

$$x^{2}-\frac{8}{3}x+\left(-\frac{4}{3}\right)^{2}=-\frac{16}{9}+\left(-\frac{4}{3}\right)^{2}$$

Kvadrera -\frac{4}{3} genom att kvadrera både täljaren och nämnaren i bråktalet.

$$x^{2}-\frac{8}{3}x+\frac{16}{9}=\frac{-16+16}{9}$$

Addera -\frac{16}{9} till \frac{16}{9} genom att hitta en gemensam nämnare och sedan addera täljarna. Förkorta sedan bråktalet till lägsta term om det går.

$$x^{2}-\frac{8}{3}x+\frac{16}{9}=0$$

Faktorisera x^{2}-\frac{8}{3}x+\frac{16}{9}. I allmänhet kan den alltid faktoriseras som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} när x^{2}+bx+c är en perfekt kvadrat.

$$\left(x-\frac{4}{3}\right)^{2}=0$$

Dra kvadratroten ur båda ekvationsled.

$$\sqrt{\left(x-\frac{4}{3}\right)^{2}}=\sqrt{0}$$

Förenkla.

$$x-\frac{4}{3}=0 x-\frac{4}{3}=0$$

Addera \frac{4}{3} till båda ekvationsled.

$$x=\frac{4}{3} x=\frac{4}{3}$$

Ekvationen har lösts. Lösningarna är samma.

$$x=\frac{4}{3}$$