Lös 9x^2-14x-14=0

$$9 x ^ { 2 } - 14 x - 14 = 0$$

Lös ut x

$$x = \frac{5 \sqrt{7} + 7}{9} \approx 2,247639617$$

$$x=\frac{7-5\sqrt{7}}{9}\approx -0,692084062$$

Steg med lösningsformeln

Alla ekvationer på formen ax^{2}+bx+c=0 kan lösas med hjälp av lösningsformeln: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Lösningsformeln ger två lösningar, en när ± är addition och en när det är subtraktion.

$$9x^{2}-14x-14=0$$

Den här ekvationen är skriven i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersätt a med 9, b med -14 och c med -14 i andragradsekvationen \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{\left(-14\right)^{2}-4\times 9\left(-14\right)}}{2\times 9}$$

Kvadrera -14.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{196-4\times 9\left(-14\right)}}{2\times 9}$$

Multiplicera -4 med 9.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{196-36\left(-14\right)}}{2\times 9}$$

Multiplicera -36 med -14.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{196+504}}{2\times 9}$$

Addera 196 till 504.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{700}}{2\times 9}$$

Dra kvadratroten ur 700.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±10\sqrt{7}}{2\times 9}$$

Motsatsen till -14 är 14.

$$x=\frac{14±10\sqrt{7}}{2\times 9}$$

Multiplicera 2 med 9.

$$x=\frac{14±10\sqrt{7}}{18}$$

Lös nu ekvationen x=\frac{14±10\sqrt{7}}{18} när ± är plus. Addera 14 till 10\sqrt{7}.

$$x=\frac{10\sqrt{7}+14}{18}$$

Dela 14+10\sqrt{7} med 18.

$$x=\frac{5\sqrt{7}+7}{9}$$

Lös nu ekvationen x=\frac{14±10\sqrt{7}}{18} när ± är minus. Subtrahera 10\sqrt{7} från 14.

$$x=\frac{14-10\sqrt{7}}{18}$$

Dela 14-10\sqrt{7} med 18.

$$x=\frac{7-5\sqrt{7}}{9}$$

Ekvationen har lösts.

$$x=\frac{5\sqrt{7}+7}{9} x=\frac{7-5\sqrt{7}}{9}$$

Steg för kvadratkomplettering

Andragradsekvationer som den här kan lösas med hjälp av kvadratkomplettering. För kvadratkomplettering måste ekvationen först skrivas om på formen x^{2}+bx=c.

$$9x^{2}-14x-14=0$$

Addera 14 till båda ekvationsled.

$$9x^{2}-14x-14-\left(-14\right)=-\left(-14\right)$$

Subtraktion av -14 från sig självt ger 0 som resultat.

$$9x^{2}-14x=-\left(-14\right)$$

Subtrahera -14 från 0.

$$9x^{2}-14x=14$$

Dividera båda led med 9.

$$\frac{9x^{2}-14x}{9}=\frac{14}{9}$$

Division med 9 tar ut multiplikationen med 9.

$$x^{2}-\frac{14}{9}x=\frac{14}{9}$$

Dividera -\frac{14}{9}, koefficienten för termen x, med 2 för att få -\frac{7}{9}. Addera sedan kvadraten av -\frac{7}{9} till båda ekvationsleden. Det här steget gör ekvationens vänstra sida till en jämn kvadrat.

$$x^{2}-\frac{14}{9}x+\left(-\frac{7}{9}\right)^{2}=\frac{14}{9}+\left(-\frac{7}{9}\right)^{2}$$

Kvadrera -\frac{7}{9} genom att kvadrera både täljaren och nämnaren i bråktalet.

$$x^{2}-\frac{14}{9}x+\frac{49}{81}=\frac{14}{9}+\frac{49}{81}$$

Addera \frac{14}{9} till \frac{49}{81} genom att hitta en gemensam nämnare och sedan addera täljarna. Förkorta sedan bråktalet till lägsta term om det går.

$$x^{2}-\frac{14}{9}x+\frac{49}{81}=\frac{175}{81}$$

Faktorisera x^{2}-\frac{14}{9}x+\frac{49}{81}. I allmänhet gäller att om x^{2}+bx+c är en jämn kvadrat kan den alltid faktoriseras som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{7}{9}\right)^{2}=\frac{175}{81}$$

Dra kvadratroten ur båda ekvationsled.

$$\sqrt{\left(x-\frac{7}{9}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{175}{81}}$$

Förenkla.

$$x-\frac{7}{9}=\frac{5\sqrt{7}}{9} x-\frac{7}{9}=-\frac{5\sqrt{7}}{9}$$

Addera \frac{7}{9} till båda ekvationsled.

$$x=\frac{5\sqrt{7}+7}{9} x=\frac{7-5\sqrt{7}}{9}$$