Lös 9x^2-12x-4=0

$$9 x ^ { 2 } - 12 x - 4 = 0$$

Lös ut x

$$x = \frac{2 \sqrt{2} + 2}{3} \approx 1,609475708$$

$$x=\frac{2-2\sqrt{2}}{3}\approx -0,276142375$$

Steg med lösningsformeln

Alla ekvationer på formen ax^{2}+bx+c=0 kan lösas med hjälp av lösningsformeln: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Lösningsformeln ger två lösningar, en när ± är addition och en när det är subtraktion.

$$9x^{2}-12x-4=0$$

Den här ekvationen är skriven i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersätt a med 9, b med -12 och c med -4 i andragradsekvationen \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{\left(-12\right)^{2}-4\times 9\left(-4\right)}}{2\times 9}$$

Kvadrera -12.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144-4\times 9\left(-4\right)}}{2\times 9}$$

Multiplicera -4 med 9.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144-36\left(-4\right)}}{2\times 9}$$

Multiplicera -36 med -4.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144+144}}{2\times 9}$$

Addera 144 till 144.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{288}}{2\times 9}$$

Dra kvadratroten ur 288.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±12\sqrt{2}}{2\times 9}$$

Motsatsen till -12 är 12.

$$x=\frac{12±12\sqrt{2}}{2\times 9}$$

Multiplicera 2 med 9.

$$x=\frac{12±12\sqrt{2}}{18}$$

Lös nu ekvationen x=\frac{12±12\sqrt{2}}{18} när ± är plus. Addera 12 till 12\sqrt{2}.

$$x=\frac{12\sqrt{2}+12}{18}$$

Dela 12+12\sqrt{2} med 18.

$$x=\frac{2\sqrt{2}+2}{3}$$

Lös nu ekvationen x=\frac{12±12\sqrt{2}}{18} när ± är minus. Subtrahera 12\sqrt{2} från 12.

$$x=\frac{12-12\sqrt{2}}{18}$$

Dela 12-12\sqrt{2} med 18.

$$x=\frac{2-2\sqrt{2}}{3}$$

Ekvationen har lösts.

$$x=\frac{2\sqrt{2}+2}{3} x=\frac{2-2\sqrt{2}}{3}$$

Steg för kvadratkomplettering

Andragradsekvationer som den här kan lösas med hjälp av kvadratkomplettering. För kvadratkomplettering måste ekvationen först skrivas om på formen x^{2}+bx=c.

$$9x^{2}-12x-4=0$$

Addera 4 till båda ekvationsled.

$$9x^{2}-12x-4-\left(-4\right)=-\left(-4\right)$$

Subtraktion av -4 från sig självt ger 0 som resultat.

$$9x^{2}-12x=-\left(-4\right)$$

Subtrahera -4 från 0.

$$9x^{2}-12x=4$$

Dividera båda led med 9.

$$\frac{9x^{2}-12x}{9}=\frac{4}{9}$$

Division med 9 tar ut multiplikationen med 9.

$$x^{2}+\left(-\frac{12}{9}\right)x=\frac{4}{9}$$

Minska bråktalet \frac{-12}{9} till de lägsta termerna genom att extrahera och eliminera 3.

$$x^{2}-\frac{4}{3}x=\frac{4}{9}$$

Dividera -\frac{4}{3}, koefficienten för termen x, med 2 för att få -\frac{2}{3}. Addera sedan kvadraten av -\frac{2}{3} till båda ekvationsleden. Det här steget gör ekvationens vänstra sida till en jämn kvadrat.

$$x^{2}-\frac{4}{3}x+\left(-\frac{2}{3}\right)^{2}=\frac{4}{9}+\left(-\frac{2}{3}\right)^{2}$$

Kvadrera -\frac{2}{3} genom att kvadrera både täljaren och nämnaren i bråktalet.

$$x^{2}-\frac{4}{3}x+\frac{4}{9}=\frac{4+4}{9}$$

Addera \frac{4}{9} till \frac{4}{9} genom att hitta en gemensam nämnare och sedan addera täljarna. Förkorta sedan bråktalet till lägsta term om det går.

$$x^{2}-\frac{4}{3}x+\frac{4}{9}=\frac{8}{9}$$

Faktorisera x^{2}-\frac{4}{3}x+\frac{4}{9}. I allmänhet gäller att om x^{2}+bx+c är en jämn kvadrat kan den alltid faktoriseras som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{2}{3}\right)^{2}=\frac{8}{9}$$

Dra kvadratroten ur båda ekvationsled.

$$\sqrt{\left(x-\frac{2}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{8}{9}}$$

Förenkla.

$$x-\frac{2}{3}=\frac{2\sqrt{2}}{3} x-\frac{2}{3}=-\frac{2\sqrt{2}}{3}$$

Addera \frac{2}{3} till båda ekvationsled.

$$x=\frac{2\sqrt{2}+2}{3} x=\frac{2-2\sqrt{2}}{3}$$