Lös 9x^2+9x=1

$$9 x ^ { 2 } + 9 x = 1$$

Lös ut x

$$x=\frac{\sqrt{13}}{6}-\frac{1}{2}\approx 0,100925213$$

$$x=-\frac{\sqrt{13}}{6}-\frac{1}{2}\approx -1,100925213$$

Steg med lösningsformeln

Alla ekvationer på formen ax^{2}+bx+c=0 kan lösas med hjälp av lösningsformeln: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Lösningsformeln ger två lösningar, en när ± är addition och en när det är subtraktion.

$$9x^{2}+9x=1$$

Subtrahera 1 från båda ekvationsled.

$$9x^{2}+9x-1=1-1$$

Subtraktion av 1 från sig självt ger 0 som resultat.

$$9x^{2}+9x-1=0$$

Den här ekvationen är skriven i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersätt a med 9, b med 9 och c med -1 i andragradsekvationen \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-9±\sqrt{9^{2}-4\times 9\left(-1\right)}}{2\times 9}$$

Kvadrera 9.

$$x=\frac{-9±\sqrt{81-4\times 9\left(-1\right)}}{2\times 9}$$

Multiplicera -4 med 9.

$$x=\frac{-9±\sqrt{81-36\left(-1\right)}}{2\times 9}$$

Multiplicera -36 med -1.

$$x=\frac{-9±\sqrt{81+36}}{2\times 9}$$

Addera 81 till 36.

$$x=\frac{-9±\sqrt{117}}{2\times 9}$$

Dra kvadratroten ur 117.

$$x=\frac{-9±3\sqrt{13}}{2\times 9}$$

Multiplicera 2 med 9.

$$x=\frac{-9±3\sqrt{13}}{18}$$

Lös nu ekvationen x=\frac{-9±3\sqrt{13}}{18} när ± är plus. Addera -9 till 3\sqrt{13}.

$$x=\frac{3\sqrt{13}-9}{18}$$

Dela -9+3\sqrt{13} med 18.

$$x=\frac{\sqrt{13}}{6}-\frac{1}{2}$$

Lös nu ekvationen x=\frac{-9±3\sqrt{13}}{18} när ± är minus. Subtrahera 3\sqrt{13} från -9.

$$x=\frac{-3\sqrt{13}-9}{18}$$

Dela -9-3\sqrt{13} med 18.

$$x=-\frac{\sqrt{13}}{6}-\frac{1}{2}$$

Ekvationen har lösts.

$$x=\frac{\sqrt{13}}{6}-\frac{1}{2} x=-\frac{\sqrt{13}}{6}-\frac{1}{2}$$

Steg för kvadratkomplettering

Andragradsekvationer som den här kan lösas med hjälp av kvadratkomplettering. För kvadratkomplettering måste ekvationen först skrivas om på formen x^{2}+bx=c.

$$9x^{2}+9x=1$$

Dividera båda led med 9.

$$\frac{9x^{2}+9x}{9}=\frac{1}{9}$$

Division med 9 tar ut multiplikationen med 9.

$$x^{2}+\frac{9}{9}x=\frac{1}{9}$$

Dela 9 med 9.

$$x^{2}+x=\frac{1}{9}$$

Dividera 1, koefficienten för termen x, med 2 för att få \frac{1}{2}. Addera sedan kvadraten av \frac{1}{2} till båda ekvationsleden. Det här steget gör ekvationens vänstra sida till en jämn kvadrat.

$$x^{2}+x+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}=\frac{1}{9}+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}$$

Kvadrera \frac{1}{2} genom att kvadrera både täljaren och nämnaren i bråktalet.

$$x^{2}+x+\frac{1}{4}=\frac{1}{9}+\frac{1}{4}$$

Addera \frac{1}{9} till \frac{1}{4} genom att hitta en gemensam nämnare och sedan addera täljarna. Förkorta sedan bråktalet till lägsta term om det går.

$$x^{2}+x+\frac{1}{4}=\frac{13}{36}$$

Faktorisera x^{2}+x+\frac{1}{4}. I allmänhet kan den alltid faktoriseras som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} när x^{2}+bx+c är en perfekt kvadrat.

$$\left(x+\frac{1}{2}\right)^{2}=\frac{13}{36}$$

Dra kvadratroten ur båda ekvationsled.

$$\sqrt{\left(x+\frac{1}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{13}{36}}$$

Förenkla.

$$x+\frac{1}{2}=\frac{\sqrt{13}}{6} x+\frac{1}{2}=-\frac{\sqrt{13}}{6}$$

Subtrahera \frac{1}{2} från båda ekvationsled.

$$x=\frac{\sqrt{13}}{6}-\frac{1}{2} x=-\frac{\sqrt{13}}{6}-\frac{1}{2}$$