Lös 9x^2+6x+9=0

$$9 x ^ { 2 } + 6 x + 9 = 0$$

Lös ut x (complex solution)

$$x=\frac{-1+2\sqrt{2}i}{3}\approx -0,333333333+0,942809042i$$

$$x=\frac{-2\sqrt{2}i-1}{3}\approx -0,333333333-0,942809042i$$

Steg med lösningsformeln

Alla ekvationer på formen ax^{2}+bx+c=0 kan lösas med hjälp av lösningsformeln: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Lösningsformeln ger två lösningar, en när ± är addition och en när det är subtraktion.

$$9x^{2}+6x+9=0$$

Den här ekvationen är skriven i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersätt a med 9, b med 6 och c med 9 i andragradsekvationen \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-6±\sqrt{6^{2}-4\times 9\times 9}}{2\times 9}$$

Kvadrera 6.

$$x=\frac{-6±\sqrt{36-4\times 9\times 9}}{2\times 9}$$

Multiplicera -4 med 9.

$$x=\frac{-6±\sqrt{36-36\times 9}}{2\times 9}$$

Multiplicera -36 med 9.

$$x=\frac{-6±\sqrt{36-324}}{2\times 9}$$

Addera 36 till -324.

$$x=\frac{-6±\sqrt{-288}}{2\times 9}$$

Dra kvadratroten ur -288.

$$x=\frac{-6±12\sqrt{2}i}{2\times 9}$$

Multiplicera 2 med 9.

$$x=\frac{-6±12\sqrt{2}i}{18}$$

Lös nu ekvationen x=\frac{-6±12\sqrt{2}i}{18} när ± är plus. Addera -6 till 12i\sqrt{2}.

$$x=\frac{-6+12\sqrt{2}i}{18}$$

Dela -6+12i\sqrt{2} med 18.

$$x=\frac{-1+2\sqrt{2}i}{3}$$

Lös nu ekvationen x=\frac{-6±12\sqrt{2}i}{18} när ± är minus. Subtrahera 12i\sqrt{2} från -6.

$$x=\frac{-12\sqrt{2}i-6}{18}$$

Dela -6-12i\sqrt{2} med 18.

$$x=\frac{-2\sqrt{2}i-1}{3}$$

Ekvationen har lösts.

$$x=\frac{-1+2\sqrt{2}i}{3} x=\frac{-2\sqrt{2}i-1}{3}$$

Steg för kvadratkomplettering

Andragradsekvationer som den här kan lösas med hjälp av kvadratkomplettering. För kvadratkomplettering måste ekvationen först skrivas om på formen x^{2}+bx=c.

$$9x^{2}+6x+9=0$$

Subtrahera 9 från båda ekvationsled.

$$9x^{2}+6x+9-9=-9$$

Subtraktion av 9 från sig självt ger 0 som resultat.

$$9x^{2}+6x=-9$$

Dividera båda led med 9.

$$\frac{9x^{2}+6x}{9}=-\frac{9}{9}$$

Division med 9 tar ut multiplikationen med 9.

$$x^{2}+\frac{6}{9}x=-\frac{9}{9}$$

Minska bråktalet \frac{6}{9} till de lägsta termerna genom att extrahera och eliminera 3.

$$x^{2}+\frac{2}{3}x=-\frac{9}{9}$$

Dela -9 med 9.

$$x^{2}+\frac{2}{3}x=-1$$

Dividera \frac{2}{3}, koefficienten för termen x, med 2 för att få \frac{1}{3}. Addera sedan kvadraten av \frac{1}{3} till båda ekvationsleden. Det här steget gör ekvationens vänstra sida till en jämn kvadrat.

$$x^{2}+\frac{2}{3}x+\left(\frac{1}{3}\right)^{2}=-1+\left(\frac{1}{3}\right)^{2}$$

Kvadrera \frac{1}{3} genom att kvadrera både täljaren och nämnaren i bråktalet.

$$x^{2}+\frac{2}{3}x+\frac{1}{9}=-1+\frac{1}{9}$$

Addera -1 till \frac{1}{9}.

$$x^{2}+\frac{2}{3}x+\frac{1}{9}=-\frac{8}{9}$$

Faktorisera x^{2}+\frac{2}{3}x+\frac{1}{9}. I allmänhet gäller att om x^{2}+bx+c är en jämn kvadrat kan den alltid faktoriseras som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{1}{3}\right)^{2}=-\frac{8}{9}$$

Dra kvadratroten ur båda ekvationsled.

$$\sqrt{\left(x+\frac{1}{3}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{8}{9}}$$

Förenkla.

$$x+\frac{1}{3}=\frac{2\sqrt{2}i}{3} x+\frac{1}{3}=-\frac{2\sqrt{2}i}{3}$$

Subtrahera \frac{1}{3} från båda ekvationsled.

$$x=\frac{-1+2\sqrt{2}i}{3} x=\frac{-2\sqrt{2}i-1}{3}$$