Lös 9x^2+3x+9=0

$$9 x ^ { 2 } + 3 x + 9 = 0$$

Lös ut x (complex solution)

$$x=\frac{-1+\sqrt{35}i}{6}\approx -0,166666667+0,986013297i$$

$$x=\frac{-\sqrt{35}i-1}{6}\approx -0,166666667-0,986013297i$$

Steg med lösningsformeln

Alla ekvationer på formen ax^{2}+bx+c=0 kan lösas med hjälp av lösningsformeln: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Lösningsformeln ger två lösningar, en när ± är addition och en när det är subtraktion.

$$9x^{2}+3x+9=0$$

Den här ekvationen är skriven i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersätt a med 9, b med 3 och c med 9 i andragradsekvationen \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-3±\sqrt{3^{2}-4\times 9\times 9}}{2\times 9}$$

Kvadrera 3.

$$x=\frac{-3±\sqrt{9-4\times 9\times 9}}{2\times 9}$$

Multiplicera -4 med 9.

$$x=\frac{-3±\sqrt{9-36\times 9}}{2\times 9}$$

Multiplicera -36 med 9.

$$x=\frac{-3±\sqrt{9-324}}{2\times 9}$$

Addera 9 till -324.

$$x=\frac{-3±\sqrt{-315}}{2\times 9}$$

Dra kvadratroten ur -315.

$$x=\frac{-3±3\sqrt{35}i}{2\times 9}$$

Multiplicera 2 med 9.

$$x=\frac{-3±3\sqrt{35}i}{18}$$

Lös nu ekvationen x=\frac{-3±3\sqrt{35}i}{18} när ± är plus. Addera -3 till 3i\sqrt{35}.

$$x=\frac{-3+3\sqrt{35}i}{18}$$

Dela -3+3i\sqrt{35} med 18.

$$x=\frac{-1+\sqrt{35}i}{6}$$

Lös nu ekvationen x=\frac{-3±3\sqrt{35}i}{18} när ± är minus. Subtrahera 3i\sqrt{35} från -3.

$$x=\frac{-3\sqrt{35}i-3}{18}$$

Dela -3-3i\sqrt{35} med 18.

$$x=\frac{-\sqrt{35}i-1}{6}$$

Ekvationen har lösts.

$$x=\frac{-1+\sqrt{35}i}{6} x=\frac{-\sqrt{35}i-1}{6}$$

Steg för kvadratkomplettering

Andragradsekvationer som den här kan lösas med hjälp av kvadratkomplettering. För kvadratkomplettering måste ekvationen först skrivas om på formen x^{2}+bx=c.

$$9x^{2}+3x+9=0$$

Subtrahera 9 från båda ekvationsled.

$$9x^{2}+3x+9-9=-9$$

Subtraktion av 9 från sig självt ger 0 som resultat.

$$9x^{2}+3x=-9$$

Dividera båda led med 9.

$$\frac{9x^{2}+3x}{9}=-\frac{9}{9}$$

Division med 9 tar ut multiplikationen med 9.

$$x^{2}+\frac{3}{9}x=-\frac{9}{9}$$

Minska bråktalet \frac{3}{9} till de lägsta termerna genom att extrahera och eliminera 3.

$$x^{2}+\frac{1}{3}x=-\frac{9}{9}$$

Dela -9 med 9.

$$x^{2}+\frac{1}{3}x=-1$$

Dividera \frac{1}{3}, koefficienten för termen x, med 2 för att få \frac{1}{6}. Addera sedan kvadraten av \frac{1}{6} till båda ekvationsleden. Det här steget gör ekvationens vänstra sida till en jämn kvadrat.

$$x^{2}+\frac{1}{3}x+\left(\frac{1}{6}\right)^{2}=-1+\left(\frac{1}{6}\right)^{2}$$

Kvadrera \frac{1}{6} genom att kvadrera både täljaren och nämnaren i bråktalet.

$$x^{2}+\frac{1}{3}x+\frac{1}{36}=-1+\frac{1}{36}$$

Addera -1 till \frac{1}{36}.

$$x^{2}+\frac{1}{3}x+\frac{1}{36}=-\frac{35}{36}$$

Faktorisera x^{2}+\frac{1}{3}x+\frac{1}{36}. I allmänhet gäller att om x^{2}+bx+c är en jämn kvadrat kan den alltid faktoriseras som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{1}{6}\right)^{2}=-\frac{35}{36}$$

Dra kvadratroten ur båda ekvationsled.

$$\sqrt{\left(x+\frac{1}{6}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{35}{36}}$$

Förenkla.

$$x+\frac{1}{6}=\frac{\sqrt{35}i}{6} x+\frac{1}{6}=-\frac{\sqrt{35}i}{6}$$

Subtrahera \frac{1}{6} från båda ekvationsled.

$$x=\frac{-1+\sqrt{35}i}{6} x=\frac{-\sqrt{35}i-1}{6}$$