Lös 9t^2-12t=-4

$$9 t ^ { 2 } - 12 t = - 4$$

Lös ut t

$$t=\frac{2}{3}\approx 0,666666667$$

Steg med faktorisering genom gruppering

Lägg till 4 på båda sidorna.

$$9t^{2}-12t+4=0$$

För att lösa ekvationen kan du faktor den vänstra delen med hjälp av gruppering. Första, vänstra sidan måste skrivas om som 9t^{2}+at+bt+4. Konfigurera ett system som ska lösas om du vill söka efter a och b.

$$a+b=-12 ab=9\times 4=36$$

Eftersom ab är positivt a och b ha samma tecken. Eftersom a+b är negativt är a och b negativa. Lista alla sådana heltalspar som ger produkten 36.

$$-1,-36 -2,-18 -3,-12 -4,-9 -6,-6$$

Beräkna summan för varje par.

$$-1-36=-37 -2-18=-20 -3-12=-15 -4-9=-13 -6-6=-12$$

Lösningen är det par som ger Summa -12.

$$a=-6 b=-6$$

Skriv om 9t^{2}-12t+4 som \left(9t^{2}-6t\right)+\left(-6t+4\right).

$$\left(9t^{2}-6t\right)+\left(-6t+4\right)$$

Utfaktor 3t i den första och den -2 i den andra gruppen.

$$3t\left(3t-2\right)-2\left(3t-2\right)$$

Bryt ut den gemensamma termen 3t-2 genom att använda distributivitet.

$$\left(3t-2\right)\left(3t-2\right)$$

Skriv om som en binomkvadrat.

$$\left(3t-2\right)^{2}$$

Lös 3t-2=0 för att hitta ekvationslösning.

$$t=\frac{2}{3}$$

Steg med lösningsformeln

Alla ekvationer på formen ax^{2}+bx+c=0 kan lösas med hjälp av lösningsformeln: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Lösningsformeln ger två lösningar, en när ± är addition och en när det är subtraktion.

$$9t^{2}-12t=-4$$

Addera 4 till båda ekvationsled.

$$9t^{2}-12t-\left(-4\right)=-4-\left(-4\right)$$

Subtraktion av -4 från sig självt ger 0 som resultat.

$$9t^{2}-12t-\left(-4\right)=0$$

Subtrahera -4 från 0.

$$9t^{2}-12t+4=0$$

Den här ekvationen är skriven i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersätt a med 9, b med -12 och c med 4 i andragradsekvationen \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$t=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{\left(-12\right)^{2}-4\times 9\times 4}}{2\times 9}$$

Kvadrera -12.

$$t=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144-4\times 9\times 4}}{2\times 9}$$

Multiplicera -4 med 9.

$$t=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144-36\times 4}}{2\times 9}$$

Multiplicera -36 med 4.

$$t=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144-144}}{2\times 9}$$

Addera 144 till -144.

$$t=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{0}}{2\times 9}$$

Dra kvadratroten ur 0.

$$t=-\frac{-12}{2\times 9}$$

Motsatsen till -12 är 12.

$$t=\frac{12}{2\times 9}$$

Multiplicera 2 med 9.

$$t=\frac{12}{18}$$

Minska bråktalet \frac{12}{18} till de lägsta termerna genom att extrahera och eliminera 6.

$$t=\frac{2}{3}$$

Steg för kvadratkomplettering

Andragradsekvationer som den här kan lösas med hjälp av kvadratkomplettering. För kvadratkomplettering måste ekvationen först skrivas om på formen x^{2}+bx=c.

$$9t^{2}-12t=-4$$

Dividera båda led med 9.

$$\frac{9t^{2}-12t}{9}=-\frac{4}{9}$$

Division med 9 tar ut multiplikationen med 9.

$$t^{2}+\left(-\frac{12}{9}\right)t=-\frac{4}{9}$$

Minska bråktalet \frac{-12}{9} till de lägsta termerna genom att extrahera och eliminera 3.

$$t^{2}-\frac{4}{3}t=-\frac{4}{9}$$

Dividera -\frac{4}{3}, koefficienten för termen x, med 2 för att få -\frac{2}{3}. Addera sedan kvadraten av -\frac{2}{3} till båda ekvationsleden. Det här steget gör ekvationens vänstra sida till en jämn kvadrat.

$$t^{2}-\frac{4}{3}t+\left(-\frac{2}{3}\right)^{2}=-\frac{4}{9}+\left(-\frac{2}{3}\right)^{2}$$

Kvadrera -\frac{2}{3} genom att kvadrera både täljaren och nämnaren i bråktalet.

$$t^{2}-\frac{4}{3}t+\frac{4}{9}=\frac{-4+4}{9}$$

Addera -\frac{4}{9} till \frac{4}{9} genom att hitta en gemensam nämnare och sedan addera täljarna. Förkorta sedan bråktalet till lägsta term om det går.

$$t^{2}-\frac{4}{3}t+\frac{4}{9}=0$$

Faktorisera t^{2}-\frac{4}{3}t+\frac{4}{9}. I allmänhet kan den alltid faktoriseras som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} när x^{2}+bx+c är en perfekt kvadrat.

$$\left(t-\frac{2}{3}\right)^{2}=0$$

Dra kvadratroten ur båda ekvationsled.

$$\sqrt{\left(t-\frac{2}{3}\right)^{2}}=\sqrt{0}$$

Förenkla.

$$t-\frac{2}{3}=0 t-\frac{2}{3}=0$$

Addera \frac{2}{3} till båda ekvationsled.

$$t=\frac{2}{3} t=\frac{2}{3}$$

Ekvationen har lösts. Lösningarna är samma.

$$t=\frac{2}{3}$$