Lös 9q^2-20q+4=0

$$9 q ^ { 2 } - 20 q + 4 = 0$$

Lös ut q

$$q=\frac{2}{9}\approx 0,222222222$$

$$q=2$$

Steg med faktorisering genom gruppering

För att lösa ekvationen kan du faktor den vänstra delen med hjälp av gruppering. Första, vänstra sidan måste skrivas om som 9q^{2}+aq+bq+4. Konfigurera ett system som ska lösas om du vill söka efter a och b.

$$a+b=-20 ab=9\times 4=36$$

Eftersom ab är positivt a och b ha samma tecken. Eftersom a+b är negativt är a och b negativa. Lista alla sådana heltalspar som ger produkten 36.

$$-1,-36 -2,-18 -3,-12 -4,-9 -6,-6$$

Beräkna summan för varje par.

$$-1-36=-37 -2-18=-20 -3-12=-15 -4-9=-13 -6-6=-12$$

Lösningen är det par som ger Summa -20.

$$a=-18 b=-2$$

Skriv om 9q^{2}-20q+4 som \left(9q^{2}-18q\right)+\left(-2q+4\right).

$$\left(9q^{2}-18q\right)+\left(-2q+4\right)$$

Utfaktor 9q i den första och den -2 i den andra gruppen.

$$9q\left(q-2\right)-2\left(q-2\right)$$

Bryt ut den gemensamma termen q-2 genom att använda distributivitet.

$$\left(q-2\right)\left(9q-2\right)$$

Lös q-2=0 och 9q-2=0 om du vill hitta ekvations lösningar.

$$q=2 q=\frac{2}{9}$$

Steg med lösningsformeln

Alla ekvationer på formen ax^{2}+bx+c=0 kan lösas med hjälp av lösningsformeln: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Lösningsformeln ger två lösningar, en när ± är addition och en när det är subtraktion.

$$9q^{2}-20q+4=0$$

Den här ekvationen är skriven i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersätt a med 9, b med -20 och c med 4 i andragradsekvationen \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$q=\frac{-\left(-20\right)±\sqrt{\left(-20\right)^{2}-4\times 9\times 4}}{2\times 9}$$

Kvadrera -20.

$$q=\frac{-\left(-20\right)±\sqrt{400-4\times 9\times 4}}{2\times 9}$$

Multiplicera -4 med 9.

$$q=\frac{-\left(-20\right)±\sqrt{400-36\times 4}}{2\times 9}$$

Multiplicera -36 med 4.

$$q=\frac{-\left(-20\right)±\sqrt{400-144}}{2\times 9}$$

Addera 400 till -144.

$$q=\frac{-\left(-20\right)±\sqrt{256}}{2\times 9}$$

Dra kvadratroten ur 256.

$$q=\frac{-\left(-20\right)±16}{2\times 9}$$

Motsatsen till -20 är 20.

$$q=\frac{20±16}{2\times 9}$$

Multiplicera 2 med 9.

$$q=\frac{20±16}{18}$$

Lös nu ekvationen q=\frac{20±16}{18} när ± är plus. Addera 20 till 16.

$$q=\frac{36}{18}$$

Dela 36 med 18.

$$q=2$$

Lös nu ekvationen q=\frac{20±16}{18} när ± är minus. Subtrahera 16 från 20.

$$q=\frac{4}{18}$$

Minska bråktalet \frac{4}{18} till de lägsta termerna genom att extrahera och eliminera 2.

$$q=\frac{2}{9}$$

Ekvationen har lösts.

$$q=2 q=\frac{2}{9}$$

Steg för kvadratkomplettering

Andragradsekvationer som den här kan lösas med hjälp av kvadratkomplettering. För kvadratkomplettering måste ekvationen först skrivas om på formen x^{2}+bx=c.

$$9q^{2}-20q+4=0$$

Subtrahera 4 från båda ekvationsled.

$$9q^{2}-20q+4-4=-4$$

Subtraktion av 4 från sig självt ger 0 som resultat.

$$9q^{2}-20q=-4$$

Dividera båda led med 9.

$$\frac{9q^{2}-20q}{9}=-\frac{4}{9}$$

Division med 9 tar ut multiplikationen med 9.

$$q^{2}-\frac{20}{9}q=-\frac{4}{9}$$

Dividera -\frac{20}{9}, koefficienten för termen x, med 2 för att få -\frac{10}{9}. Addera sedan kvadraten av -\frac{10}{9} till båda ekvationsleden. Det här steget gör ekvationens vänstra sida till en jämn kvadrat.

$$q^{2}-\frac{20}{9}q+\left(-\frac{10}{9}\right)^{2}=-\frac{4}{9}+\left(-\frac{10}{9}\right)^{2}$$

Kvadrera -\frac{10}{9} genom att kvadrera både täljaren och nämnaren i bråktalet.

$$q^{2}-\frac{20}{9}q+\frac{100}{81}=-\frac{4}{9}+\frac{100}{81}$$

Addera -\frac{4}{9} till \frac{100}{81} genom att hitta en gemensam nämnare och sedan addera täljarna. Förkorta sedan bråktalet till lägsta term om det går.

$$q^{2}-\frac{20}{9}q+\frac{100}{81}=\frac{64}{81}$$

Faktorisera q^{2}-\frac{20}{9}q+\frac{100}{81}. I allmänhet kan den alltid faktoriseras som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} när x^{2}+bx+c är en perfekt kvadrat.

$$\left(q-\frac{10}{9}\right)^{2}=\frac{64}{81}$$

Dra kvadratroten ur båda ekvationsled.

$$\sqrt{\left(q-\frac{10}{9}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{64}{81}}$$

Förenkla.

$$q-\frac{10}{9}=\frac{8}{9} q-\frac{10}{9}=-\frac{8}{9}$$

Addera \frac{10}{9} till båda ekvationsled.

$$q=2 q=\frac{2}{9}$$