Lös 9n^2-23n+20=3n^2

$$9 n ^ { 2 } - 23 n + 20 = 3 n ^ { 2 }$$

Lös ut n

$$n = \frac{4}{3} = 1\frac{1}{3} \approx 1,333333333$$

$$n = \frac{5}{2} = 2\frac{1}{2} = 2,5$$

Steg med faktorisering genom gruppering

Subtrahera 3n^{2} från båda led.

$$9n^{2}-23n+20-3n^{2}=0$$

Slå ihop 9n^{2} och -3n^{2} för att få 6n^{2}.

$$6n^{2}-23n+20=0$$

För att lösa ekvationen kan du faktor den vänstra delen med hjälp av gruppering. Första, vänstra sidan måste skrivas om som 6n^{2}+an+bn+20. Konfigurera ett system som ska lösas om du vill söka efter a och b.

$$a+b=-23 ab=6\times 20=120$$

Eftersom ab är positivt a och b ha samma tecken. Eftersom a+b är negativt är a och b negativa. Lista alla sådana heltalspar som ger produkten 120.

$$-1,-120 -2,-60 -3,-40 -4,-30 -5,-24 -6,-20 -8,-15 -10,-12$$

Beräkna summan för varje par.

$$-1-120=-121 -2-60=-62 -3-40=-43 -4-30=-34 -5-24=-29 -6-20=-26 -8-15=-23 -10-12=-22$$

Lösningen är det par som ger Summa -23.

$$a=-15 b=-8$$

Skriv om 6n^{2}-23n+20 som \left(6n^{2}-15n\right)+\left(-8n+20\right).

$$\left(6n^{2}-15n\right)+\left(-8n+20\right)$$

Utfaktor 3n i den första och den -4 i den andra gruppen.

$$3n\left(2n-5\right)-4\left(2n-5\right)$$

Bryt ut den gemensamma termen 2n-5 genom att använda distributivitet.

$$\left(2n-5\right)\left(3n-4\right)$$

Lös 2n-5=0 och 3n-4=0 om du vill hitta ekvations lösningar.

$$n=\frac{5}{2} n=\frac{4}{3}$$

Steg med lösningsformeln

Subtrahera 3n^{2} från båda led.

$$9n^{2}-23n+20-3n^{2}=0$$

Slå ihop 9n^{2} och -3n^{2} för att få 6n^{2}.

$$6n^{2}-23n+20=0$$

Den här ekvationen är skriven i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersätt a med 6, b med -23 och c med 20 i andragradsekvationen \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$n=\frac{-\left(-23\right)±\sqrt{\left(-23\right)^{2}-4\times 6\times 20}}{2\times 6}$$

Kvadrera -23.

$$n=\frac{-\left(-23\right)±\sqrt{529-4\times 6\times 20}}{2\times 6}$$

Multiplicera -4 med 6.

$$n=\frac{-\left(-23\right)±\sqrt{529-24\times 20}}{2\times 6}$$

Multiplicera -24 med 20.

$$n=\frac{-\left(-23\right)±\sqrt{529-480}}{2\times 6}$$

Addera 529 till -480.

$$n=\frac{-\left(-23\right)±\sqrt{49}}{2\times 6}$$

Dra kvadratroten ur 49.

$$n=\frac{-\left(-23\right)±7}{2\times 6}$$

Motsatsen till -23 är 23.

$$n=\frac{23±7}{2\times 6}$$

Multiplicera 2 med 6.

$$n=\frac{23±7}{12}$$

Lös nu ekvationen n=\frac{23±7}{12} när ± är plus. Addera 23 till 7.

$$n=\frac{30}{12}$$

Minska bråktalet \frac{30}{12} till de lägsta termerna genom att extrahera och eliminera 6.

$$n=\frac{5}{2}$$

Lös nu ekvationen n=\frac{23±7}{12} när ± är minus. Subtrahera 7 från 23.

$$n=\frac{16}{12}$$

Minska bråktalet \frac{16}{12} till de lägsta termerna genom att extrahera och eliminera 4.

$$n=\frac{4}{3}$$

Ekvationen har lösts.

$$n=\frac{5}{2} n=\frac{4}{3}$$

Steg för kvadratkomplettering

Subtrahera 3n^{2} från båda led.

$$9n^{2}-23n+20-3n^{2}=0$$

Slå ihop 9n^{2} och -3n^{2} för att få 6n^{2}.

$$6n^{2}-23n+20=0$$

Subtrahera 20 från båda led. Allt subtraherat från noll blir sin negation.

$$6n^{2}-23n=-20$$

Dividera båda led med 6.

$$\frac{6n^{2}-23n}{6}=-\frac{20}{6}$$

Division med 6 tar ut multiplikationen med 6.

$$n^{2}-\frac{23}{6}n=-\frac{20}{6}$$

Minska bråktalet \frac{-20}{6} till de lägsta termerna genom att extrahera och eliminera 2.

$$n^{2}-\frac{23}{6}n=-\frac{10}{3}$$

Dividera -\frac{23}{6}, koefficienten för termen x, med 2 för att få -\frac{23}{12}. Addera sedan kvadraten av -\frac{23}{12} till båda ekvationsleden. Det här steget gör ekvationens vänstra sida till en jämn kvadrat.

$$n^{2}-\frac{23}{6}n+\left(-\frac{23}{12}\right)^{2}=-\frac{10}{3}+\left(-\frac{23}{12}\right)^{2}$$

Kvadrera -\frac{23}{12} genom att kvadrera både täljaren och nämnaren i bråktalet.

$$n^{2}-\frac{23}{6}n+\frac{529}{144}=-\frac{10}{3}+\frac{529}{144}$$

Addera -\frac{10}{3} till \frac{529}{144} genom att hitta en gemensam nämnare och sedan addera täljarna. Förkorta sedan bråktalet till lägsta term om det går.

$$n^{2}-\frac{23}{6}n+\frac{529}{144}=\frac{49}{144}$$

Faktorisera n^{2}-\frac{23}{6}n+\frac{529}{144}. I allmänhet kan den alltid faktoriseras som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} när x^{2}+bx+c är en perfekt kvadrat.

$$\left(n-\frac{23}{12}\right)^{2}=\frac{49}{144}$$

Dra kvadratroten ur båda ekvationsled.

$$\sqrt{\left(n-\frac{23}{12}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{49}{144}}$$

Förenkla.

$$n-\frac{23}{12}=\frac{7}{12} n-\frac{23}{12}=-\frac{7}{12}$$

Addera \frac{23}{12} till båda ekvationsled.

$$n=\frac{5}{2} n=\frac{4}{3}$$