Lös 9a^2-10a+4=0

$$9 a ^ { 2 } - 10 a + 4 = 0$$

Lös ut a

$$a=\frac{5+\sqrt{11}i}{9}\approx 0,555555556+0,368513866i$$

$$a=\frac{-\sqrt{11}i+5}{9}\approx 0,555555556-0,368513866i$$

Steg med lösningsformeln

Alla ekvationer på formen ax^{2}+bx+c=0 kan lösas med hjälp av lösningsformeln: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Lösningsformeln ger två lösningar, en när ± är addition och en när det är subtraktion.

$$9a^{2}-10a+4=0$$

Den här ekvationen är skriven i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersätt a med 9, b med -10 och c med 4 i andragradsekvationen \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$a=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{\left(-10\right)^{2}-4\times 9\times 4}}{2\times 9}$$

Kvadrera -10.

$$a=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{100-4\times 9\times 4}}{2\times 9}$$

Multiplicera -4 med 9.

$$a=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{100-36\times 4}}{2\times 9}$$

Multiplicera -36 med 4.

$$a=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{100-144}}{2\times 9}$$

Addera 100 till -144.

$$a=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{-44}}{2\times 9}$$

Dra kvadratroten ur -44.

$$a=\frac{-\left(-10\right)±2\sqrt{11}i}{2\times 9}$$

Motsatsen till -10 är 10.

$$a=\frac{10±2\sqrt{11}i}{2\times 9}$$

Multiplicera 2 med 9.

$$a=\frac{10±2\sqrt{11}i}{18}$$

Lös nu ekvationen a=\frac{10±2\sqrt{11}i}{18} när ± är plus. Addera 10 till 2i\sqrt{11}.

$$a=\frac{10+2\sqrt{11}i}{18}$$

Dela 10+2i\sqrt{11} med 18.

$$a=\frac{5+\sqrt{11}i}{9}$$

Lös nu ekvationen a=\frac{10±2\sqrt{11}i}{18} när ± är minus. Subtrahera 2i\sqrt{11} från 10.

$$a=\frac{-2\sqrt{11}i+10}{18}$$

Dela 10-2i\sqrt{11} med 18.

$$a=\frac{-\sqrt{11}i+5}{9}$$

Ekvationen har lösts.

$$a=\frac{5+\sqrt{11}i}{9} a=\frac{-\sqrt{11}i+5}{9}$$

Steg för kvadratkomplettering

Andragradsekvationer som den här kan lösas med hjälp av kvadratkomplettering. För kvadratkomplettering måste ekvationen först skrivas om på formen x^{2}+bx=c.

$$9a^{2}-10a+4=0$$

Subtrahera 4 från båda ekvationsled.

$$9a^{2}-10a+4-4=-4$$

Subtraktion av 4 från sig självt ger 0 som resultat.

$$9a^{2}-10a=-4$$

Dividera båda led med 9.

$$\frac{9a^{2}-10a}{9}=-\frac{4}{9}$$

Division med 9 tar ut multiplikationen med 9.

$$a^{2}-\frac{10}{9}a=-\frac{4}{9}$$

Dividera -\frac{10}{9}, koefficienten för termen x, med 2 för att få -\frac{5}{9}. Addera sedan kvadraten av -\frac{5}{9} till båda ekvationsleden. Det här steget gör ekvationens vänstra sida till en jämn kvadrat.

$$a^{2}-\frac{10}{9}a+\left(-\frac{5}{9}\right)^{2}=-\frac{4}{9}+\left(-\frac{5}{9}\right)^{2}$$

Kvadrera -\frac{5}{9} genom att kvadrera både täljaren och nämnaren i bråktalet.

$$a^{2}-\frac{10}{9}a+\frac{25}{81}=-\frac{4}{9}+\frac{25}{81}$$

Addera -\frac{4}{9} till \frac{25}{81} genom att hitta en gemensam nämnare och sedan addera täljarna. Förkorta sedan bråktalet till lägsta term om det går.

$$a^{2}-\frac{10}{9}a+\frac{25}{81}=-\frac{11}{81}$$

Faktorisera a^{2}-\frac{10}{9}a+\frac{25}{81}. I allmänhet kan den alltid faktoriseras som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} när x^{2}+bx+c är en perfekt kvadrat.

$$\left(a-\frac{5}{9}\right)^{2}=-\frac{11}{81}$$

Dra kvadratroten ur båda ekvationsled.

$$\sqrt{\left(a-\frac{5}{9}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{11}{81}}$$

Förenkla.

$$a-\frac{5}{9}=\frac{\sqrt{11}i}{9} a-\frac{5}{9}=-\frac{\sqrt{11}i}{9}$$

Addera \frac{5}{9} till båda ekvationsled.

$$a=\frac{5+\sqrt{11}i}{9} a=\frac{-\sqrt{11}i+5}{9}$$