Lös 9(x-2)^2-16(x+1)^2=0

$$9 ( x - 2 ) ^ { 2 } - 16 ( x + 1 ) ^ { 2 } = 0$$

Lös ut x

$$x=\frac{2}{7}\approx 0,285714286$$

$$x=-10$$

Steg med faktorisering genom gruppering

Använd binomialsatsen \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} för att expandera \left(x-2\right)^{2}.

$$9\left(x^{2}-4x+4\right)-16\left(x+1\right)^{2}=0$$

Använd den distributiva egenskapen för att multiplicera 9 med x^{2}-4x+4.

$$9x^{2}-36x+36-16\left(x+1\right)^{2}=0$$

Använd binomialsatsen \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} för att expandera \left(x+1\right)^{2}.

$$9x^{2}-36x+36-16\left(x^{2}+2x+1\right)=0$$

Använd den distributiva egenskapen för att multiplicera -16 med x^{2}+2x+1.

$$9x^{2}-36x+36-16x^{2}-32x-16=0$$

Slå ihop 9x^{2} och -16x^{2} för att få -7x^{2}.

$$-7x^{2}-36x+36-32x-16=0$$

Slå ihop -36x och -32x för att få -68x.

$$-7x^{2}-68x+36-16=0$$

Subtrahera 16 från 36 för att få 20.

$$-7x^{2}-68x+20=0$$

För att lösa ekvationen kan du faktor den vänstra delen med hjälp av gruppering. Första, vänstra sidan måste skrivas om som -7x^{2}+ax+bx+20. Konfigurera ett system som ska lösas om du vill söka efter a och b.

$$a+b=-68 ab=-7\times 20=-140$$

Eftersom ab är negativt a och b har motsatta tecken. Eftersom a+b är negativt har det negativa talet större absolut värde än det positiva. Lista alla sådana heltalspar som ger produkten -140.

$$1,-140 2,-70 4,-35 5,-28 7,-20 10,-14$$

Beräkna summan för varje par.

$$1-140=-139 2-70=-68 4-35=-31 5-28=-23 7-20=-13 10-14=-4$$

Lösningen är det par som ger Summa -68.

$$a=2 b=-70$$

Skriv om -7x^{2}-68x+20 som \left(-7x^{2}+2x\right)+\left(-70x+20\right).

$$\left(-7x^{2}+2x\right)+\left(-70x+20\right)$$

Utfaktor -x i den första och den -10 i den andra gruppen.

$$-x\left(7x-2\right)-10\left(7x-2\right)$$

Bryt ut den gemensamma termen 7x-2 genom att använda distributivitet.

$$\left(7x-2\right)\left(-x-10\right)$$

Lös 7x-2=0 och -x-10=0 om du vill hitta ekvations lösningar.

$$x=\frac{2}{7} x=-10$$

Steg med lösningsformeln

Använd binomialsatsen \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} för att expandera \left(x-2\right)^{2}.

$$9\left(x^{2}-4x+4\right)-16\left(x+1\right)^{2}=0$$

Använd den distributiva egenskapen för att multiplicera 9 med x^{2}-4x+4.

$$9x^{2}-36x+36-16\left(x+1\right)^{2}=0$$

Använd binomialsatsen \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} för att expandera \left(x+1\right)^{2}.

$$9x^{2}-36x+36-16\left(x^{2}+2x+1\right)=0$$

Använd den distributiva egenskapen för att multiplicera -16 med x^{2}+2x+1.

$$9x^{2}-36x+36-16x^{2}-32x-16=0$$

Slå ihop 9x^{2} och -16x^{2} för att få -7x^{2}.

$$-7x^{2}-36x+36-32x-16=0$$

Slå ihop -36x och -32x för att få -68x.

$$-7x^{2}-68x+36-16=0$$

Subtrahera 16 från 36 för att få 20.

$$-7x^{2}-68x+20=0$$

Den här ekvationen är skriven i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersätt a med -7, b med -68 och c med 20 i andragradsekvationen \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-68\right)±\sqrt{\left(-68\right)^{2}-4\left(-7\right)\times 20}}{2\left(-7\right)}$$

Kvadrera -68.

$$x=\frac{-\left(-68\right)±\sqrt{4624-4\left(-7\right)\times 20}}{2\left(-7\right)}$$

Multiplicera -4 med -7.

$$x=\frac{-\left(-68\right)±\sqrt{4624+28\times 20}}{2\left(-7\right)}$$

Multiplicera 28 med 20.

$$x=\frac{-\left(-68\right)±\sqrt{4624+560}}{2\left(-7\right)}$$

Addera 4624 till 560.

$$x=\frac{-\left(-68\right)±\sqrt{5184}}{2\left(-7\right)}$$

Dra kvadratroten ur 5184.

$$x=\frac{-\left(-68\right)±72}{2\left(-7\right)}$$

Motsatsen till -68 är 68.

$$x=\frac{68±72}{2\left(-7\right)}$$

Multiplicera 2 med -7.

$$x=\frac{68±72}{-14}$$

Lös nu ekvationen x=\frac{68±72}{-14} när ± är plus. Addera 68 till 72.

$$x=\frac{140}{-14}$$

Dela 140 med -14.

$$x=-10$$

Lös nu ekvationen x=\frac{68±72}{-14} när ± är minus. Subtrahera 72 från 68.

$$x=-\frac{4}{-14}$$

Minska bråktalet \frac{-4}{-14} till de lägsta termerna genom att extrahera och eliminera 2.

$$x=\frac{2}{7}$$

Ekvationen har lösts.

$$x=-10 x=\frac{2}{7}$$

Steg för kvadratkomplettering

Använd binomialsatsen \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} för att expandera \left(x-2\right)^{2}.

$$9\left(x^{2}-4x+4\right)-16\left(x+1\right)^{2}=0$$

Använd den distributiva egenskapen för att multiplicera 9 med x^{2}-4x+4.

$$9x^{2}-36x+36-16\left(x+1\right)^{2}=0$$

Använd binomialsatsen \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} för att expandera \left(x+1\right)^{2}.

$$9x^{2}-36x+36-16\left(x^{2}+2x+1\right)=0$$

Använd den distributiva egenskapen för att multiplicera -16 med x^{2}+2x+1.

$$9x^{2}-36x+36-16x^{2}-32x-16=0$$

Slå ihop 9x^{2} och -16x^{2} för att få -7x^{2}.

$$-7x^{2}-36x+36-32x-16=0$$

Slå ihop -36x och -32x för att få -68x.

$$-7x^{2}-68x+36-16=0$$

Subtrahera 16 från 36 för att få 20.

$$-7x^{2}-68x+20=0$$

Subtrahera 20 från båda led. Allt subtraherat från noll blir sin negation.

$$-7x^{2}-68x=-20$$

Dividera båda led med -7.

$$\frac{-7x^{2}-68x}{-7}=-\frac{20}{-7}$$

Division med -7 tar ut multiplikationen med -7.

$$x^{2}+\left(-\frac{68}{-7}\right)x=-\frac{20}{-7}$$

Dela -68 med -7.

$$x^{2}+\frac{68}{7}x=-\frac{20}{-7}$$

Dela -20 med -7.

$$x^{2}+\frac{68}{7}x=\frac{20}{7}$$

Dividera \frac{68}{7}, koefficienten för termen x, med 2 för att få \frac{34}{7}. Addera sedan kvadraten av \frac{34}{7} till båda ekvationsleden. Det här steget gör ekvationens vänstra sida till en jämn kvadrat.

$$x^{2}+\frac{68}{7}x+\left(\frac{34}{7}\right)^{2}=\frac{20}{7}+\left(\frac{34}{7}\right)^{2}$$

Kvadrera \frac{34}{7} genom att kvadrera både täljaren och nämnaren i bråktalet.

$$x^{2}+\frac{68}{7}x+\frac{1156}{49}=\frac{20}{7}+\frac{1156}{49}$$

Addera \frac{20}{7} till \frac{1156}{49} genom att hitta en gemensam nämnare och sedan addera täljarna. Förkorta sedan bråktalet till lägsta term om det går.

$$x^{2}+\frac{68}{7}x+\frac{1156}{49}=\frac{1296}{49}$$

Faktorisera x^{2}+\frac{68}{7}x+\frac{1156}{49}. I allmänhet kan den alltid faktoriseras som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} när x^{2}+bx+c är en perfekt kvadrat.

$$\left(x+\frac{34}{7}\right)^{2}=\frac{1296}{49}$$

Dra kvadratroten ur båda ekvationsled.

$$\sqrt{\left(x+\frac{34}{7}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1296}{49}}$$

Förenkla.

$$x+\frac{34}{7}=\frac{36}{7} x+\frac{34}{7}=-\frac{36}{7}$$

Subtrahera \frac{34}{7} från båda ekvationsled.

$$x=\frac{2}{7} x=-10$$