Lös 9x^2-8x+4=0

$$9 { x }^{ 2 } -8x+4=0$$

Lös ut x (complex solution)

$$x=\frac{4+2\sqrt{5}i}{9}\approx 0,444444444+0,496903995i$$

$$x=\frac{-2\sqrt{5}i+4}{9}\approx 0,444444444-0,496903995i$$

Steg med lösningsformeln

Alla ekvationer på formen ax^{2}+bx+c=0 kan lösas med hjälp av lösningsformeln: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Lösningsformeln ger två lösningar, en när ± är addition och en när det är subtraktion.

$$9x^{2}-8x+4=0$$

Den här ekvationen är skriven i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersätt a med 9, b med -8 och c med 4 i andragradsekvationen \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{\left(-8\right)^{2}-4\times 9\times 4}}{2\times 9}$$

Kvadrera -8.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{64-4\times 9\times 4}}{2\times 9}$$

Multiplicera -4 med 9.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{64-36\times 4}}{2\times 9}$$

Multiplicera -36 med 4.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{64-144}}{2\times 9}$$

Addera 64 till -144.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{-80}}{2\times 9}$$

Dra kvadratroten ur -80.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±4\sqrt{5}i}{2\times 9}$$

Motsatsen till -8 är 8.

$$x=\frac{8±4\sqrt{5}i}{2\times 9}$$

Multiplicera 2 med 9.

$$x=\frac{8±4\sqrt{5}i}{18}$$

Lös nu ekvationen x=\frac{8±4\sqrt{5}i}{18} när ± är plus. Addera 8 till 4i\sqrt{5}.

$$x=\frac{8+4\sqrt{5}i}{18}$$

Dela 8+4i\sqrt{5} med 18.

$$x=\frac{4+2\sqrt{5}i}{9}$$

Lös nu ekvationen x=\frac{8±4\sqrt{5}i}{18} när ± är minus. Subtrahera 4i\sqrt{5} från 8.

$$x=\frac{-4\sqrt{5}i+8}{18}$$

Dela 8-4i\sqrt{5} med 18.

$$x=\frac{-2\sqrt{5}i+4}{9}$$

Ekvationen har lösts.

$$x=\frac{4+2\sqrt{5}i}{9} x=\frac{-2\sqrt{5}i+4}{9}$$

Steg för kvadratkomplettering

Andragradsekvationer som den här kan lösas med hjälp av kvadratkomplettering. För kvadratkomplettering måste ekvationen först skrivas om på formen x^{2}+bx=c.

$$9x^{2}-8x+4=0$$

Subtrahera 4 från båda ekvationsled.

$$9x^{2}-8x+4-4=-4$$

Subtraktion av 4 från sig självt ger 0 som resultat.

$$9x^{2}-8x=-4$$

Dividera båda led med 9.

$$\frac{9x^{2}-8x}{9}=-\frac{4}{9}$$

Division med 9 tar ut multiplikationen med 9.

$$x^{2}-\frac{8}{9}x=-\frac{4}{9}$$

Dividera -\frac{8}{9}, koefficienten för termen x, med 2 för att få -\frac{4}{9}. Addera sedan kvadraten av -\frac{4}{9} till båda ekvationsleden. Det här steget gör ekvationens vänstra sida till en jämn kvadrat.

$$x^{2}-\frac{8}{9}x+\left(-\frac{4}{9}\right)^{2}=-\frac{4}{9}+\left(-\frac{4}{9}\right)^{2}$$

Kvadrera -\frac{4}{9} genom att kvadrera både täljaren och nämnaren i bråktalet.

$$x^{2}-\frac{8}{9}x+\frac{16}{81}=-\frac{4}{9}+\frac{16}{81}$$

Addera -\frac{4}{9} till \frac{16}{81} genom att hitta en gemensam nämnare och sedan addera täljarna. Förkorta sedan bråktalet till lägsta term om det går.

$$x^{2}-\frac{8}{9}x+\frac{16}{81}=-\frac{20}{81}$$

Faktorisera x^{2}-\frac{8}{9}x+\frac{16}{81}. I allmänhet kan den alltid faktoriseras som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} när x^{2}+bx+c är en perfekt kvadrat.

$$\left(x-\frac{4}{9}\right)^{2}=-\frac{20}{81}$$

Dra kvadratroten ur båda ekvationsled.

$$\sqrt{\left(x-\frac{4}{9}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{20}{81}}$$

Förenkla.

$$x-\frac{4}{9}=\frac{2\sqrt{5}i}{9} x-\frac{4}{9}=-\frac{2\sqrt{5}i}{9}$$

Addera \frac{4}{9} till båda ekvationsled.

$$x=\frac{4+2\sqrt{5}i}{9} x=\frac{-2\sqrt{5}i+4}{9}$$