Lös 9x^2-30x+25=0

$$9 { x }^{ 2 } -30x+25=0$$

Lös ut x

$$x = \frac{5}{3} = 1\frac{2}{3} \approx 1,666666667$$

Steg med faktorisering genom gruppering

För att lösa ekvationen kan du faktor den vänstra delen med hjälp av gruppering. Första, vänstra sidan måste skrivas om som 9x^{2}+ax+bx+25. Konfigurera ett system som ska lösas om du vill söka efter a och b.

$$a+b=-30 ab=9\times 25=225$$

Eftersom ab är positivt a och b ha samma tecken. Eftersom a+b är negativt är a och b negativa. Lista alla sådana heltalspar som ger produkten 225.

$$-1,-225 -3,-75 -5,-45 -9,-25 -15,-15$$

Beräkna summan för varje par.

$$-1-225=-226 -3-75=-78 -5-45=-50 -9-25=-34 -15-15=-30$$

Lösningen är det par som ger Summa -30.

$$a=-15 b=-15$$

Skriv om 9x^{2}-30x+25 som \left(9x^{2}-15x\right)+\left(-15x+25\right).

$$\left(9x^{2}-15x\right)+\left(-15x+25\right)$$

Utfaktor 3x i den första och den -5 i den andra gruppen.

$$3x\left(3x-5\right)-5\left(3x-5\right)$$

Bryt ut den gemensamma termen 3x-5 genom att använda distributivitet.

$$\left(3x-5\right)\left(3x-5\right)$$

Skriv om som en binomkvadrat.

$$\left(3x-5\right)^{2}$$

Lös 3x-5=0 för att hitta ekvationslösning.

$$x=\frac{5}{3}$$

Steg med lösningsformeln

Alla ekvationer på formen ax^{2}+bx+c=0 kan lösas med hjälp av lösningsformeln: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Lösningsformeln ger två lösningar, en när ± är addition och en när det är subtraktion.

$$9x^{2}-30x+25=0$$

Den här ekvationen är skriven i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersätt a med 9, b med -30 och c med 25 i andragradsekvationen \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-30\right)±\sqrt{\left(-30\right)^{2}-4\times 9\times 25}}{2\times 9}$$

Kvadrera -30.

$$x=\frac{-\left(-30\right)±\sqrt{900-4\times 9\times 25}}{2\times 9}$$

Multiplicera -4 med 9.

$$x=\frac{-\left(-30\right)±\sqrt{900-36\times 25}}{2\times 9}$$

Multiplicera -36 med 25.

$$x=\frac{-\left(-30\right)±\sqrt{900-900}}{2\times 9}$$

Addera 900 till -900.

$$x=\frac{-\left(-30\right)±\sqrt{0}}{2\times 9}$$

Dra kvadratroten ur 0.

$$x=-\frac{-30}{2\times 9}$$

Motsatsen till -30 är 30.

$$x=\frac{30}{2\times 9}$$

Multiplicera 2 med 9.

$$x=\frac{30}{18}$$

Minska bråktalet \frac{30}{18} till de lägsta termerna genom att extrahera och eliminera 6.

$$x=\frac{5}{3}$$

Steg för kvadratkomplettering

Andragradsekvationer som den här kan lösas med hjälp av kvadratkomplettering. För kvadratkomplettering måste ekvationen först skrivas om på formen x^{2}+bx=c.

$$9x^{2}-30x+25=0$$

Subtrahera 25 från båda ekvationsled.

$$9x^{2}-30x+25-25=-25$$

Subtraktion av 25 från sig självt ger 0 som resultat.

$$9x^{2}-30x=-25$$

Dividera båda led med 9.

$$\frac{9x^{2}-30x}{9}=-\frac{25}{9}$$

Division med 9 tar ut multiplikationen med 9.

$$x^{2}+\left(-\frac{30}{9}\right)x=-\frac{25}{9}$$

Minska bråktalet \frac{-30}{9} till de lägsta termerna genom att extrahera och eliminera 3.

$$x^{2}-\frac{10}{3}x=-\frac{25}{9}$$

Dividera -\frac{10}{3}, koefficienten för termen x, med 2 för att få -\frac{5}{3}. Addera sedan kvadraten av -\frac{5}{3} till båda ekvationsleden. Det här steget gör ekvationens vänstra sida till en jämn kvadrat.

$$x^{2}-\frac{10}{3}x+\left(-\frac{5}{3}\right)^{2}=-\frac{25}{9}+\left(-\frac{5}{3}\right)^{2}$$

Kvadrera -\frac{5}{3} genom att kvadrera både täljaren och nämnaren i bråktalet.

$$x^{2}-\frac{10}{3}x+\frac{25}{9}=\frac{-25+25}{9}$$

Addera -\frac{25}{9} till \frac{25}{9} genom att hitta en gemensam nämnare och sedan addera täljarna. Förkorta sedan bråktalet till lägsta term om det går.

$$x^{2}-\frac{10}{3}x+\frac{25}{9}=0$$

Faktorisera x^{2}-\frac{10}{3}x+\frac{25}{9}. I allmänhet kan den alltid faktoriseras som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} när x^{2}+bx+c är en perfekt kvadrat.

$$\left(x-\frac{5}{3}\right)^{2}=0$$

Dra kvadratroten ur båda ekvationsled.

$$\sqrt{\left(x-\frac{5}{3}\right)^{2}}=\sqrt{0}$$

Förenkla.

$$x-\frac{5}{3}=0 x-\frac{5}{3}=0$$

Addera \frac{5}{3} till båda ekvationsled.

$$x=\frac{5}{3} x=\frac{5}{3}$$

Ekvationen har lösts. Lösningarna är samma.

$$x=\frac{5}{3}$$