Lös 9:6x^2-x=15

$$9 : 6 x ^ { 2 } - x = 15$$

Lös ut x

$$x = \frac{\sqrt{91} + 1}{3} \approx 3,513130671$$

$$x=\frac{1-\sqrt{91}}{3}\approx -2,846464005$$

Steg med lösningsformeln

Alla ekvationer på formen ax^{2}+bx+c=0 kan lösas med hjälp av lösningsformeln: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Lösningsformeln ger två lösningar, en när ± är addition och en när det är subtraktion.

$$\frac{3}{2}x^{2}-x=15$$

Subtrahera 15 från båda ekvationsled.

$$\frac{3}{2}x^{2}-x-15=15-15$$

Subtraktion av 15 från sig självt ger 0 som resultat.

$$\frac{3}{2}x^{2}-x-15=0$$

Den här ekvationen är skriven i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersätt a med \frac{3}{2}, b med -1 och c med -15 i andragradsekvationen \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1-4\times \frac{3}{2}\left(-15\right)}}{2\times \frac{3}{2}}$$

Multiplicera -4 med \frac{3}{2}.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1-6\left(-15\right)}}{2\times \frac{3}{2}}$$

Multiplicera -6 med -15.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1+90}}{2\times \frac{3}{2}}$$

Addera 1 till 90.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{91}}{2\times \frac{3}{2}}$$

Motsatsen till -1 är 1.

$$x=\frac{1±\sqrt{91}}{2\times \frac{3}{2}}$$

Multiplicera 2 med \frac{3}{2}.

$$x=\frac{1±\sqrt{91}}{3}$$

Lös nu ekvationen x=\frac{1±\sqrt{91}}{3} när ± är plus. Addera 1 till \sqrt{91}.

$$x=\frac{\sqrt{91}+1}{3}$$

Lös nu ekvationen x=\frac{1±\sqrt{91}}{3} när ± är minus. Subtrahera \sqrt{91} från 1.

$$x=\frac{1-\sqrt{91}}{3}$$

Ekvationen har lösts.

$$x=\frac{\sqrt{91}+1}{3} x=\frac{1-\sqrt{91}}{3}$$

Steg för kvadratkomplettering

Andragradsekvationer som den här kan lösas med hjälp av kvadratkomplettering. För kvadratkomplettering måste ekvationen först skrivas om på formen x^{2}+bx=c.

$$\frac{3}{2}x^{2}-x=15$$

Dela båda ekvationsled med \frac{3}{2}, vilket är detsamma som att multiplicera båda led med bråktalets reciprok.

$$\frac{\frac{3}{2}x^{2}-x}{\frac{3}{2}}=\frac{15}{\frac{3}{2}}$$

Division med \frac{3}{2} tar ut multiplikationen med \frac{3}{2}.

$$x^{2}+\left(-\frac{1}{\frac{3}{2}}\right)x=\frac{15}{\frac{3}{2}}$$

Dela -1 med \frac{3}{2} genom att multiplicera -1 med reciproken till \frac{3}{2}.

$$x^{2}-\frac{2}{3}x=\frac{15}{\frac{3}{2}}$$

Dela 15 med \frac{3}{2} genom att multiplicera 15 med reciproken till \frac{3}{2}.

$$x^{2}-\frac{2}{3}x=10$$

Dividera -\frac{2}{3}, koefficienten för termen x, med 2 för att få -\frac{1}{3}. Addera sedan kvadraten av -\frac{1}{3} till båda ekvationsleden. Det här steget gör ekvationens vänstra sida till en jämn kvadrat.

$$x^{2}-\frac{2}{3}x+\left(-\frac{1}{3}\right)^{2}=10+\left(-\frac{1}{3}\right)^{2}$$

Kvadrera -\frac{1}{3} genom att kvadrera både täljaren och nämnaren i bråktalet.

$$x^{2}-\frac{2}{3}x+\frac{1}{9}=10+\frac{1}{9}$$

Addera 10 till \frac{1}{9}.

$$x^{2}-\frac{2}{3}x+\frac{1}{9}=\frac{91}{9}$$

Faktorisera x^{2}-\frac{2}{3}x+\frac{1}{9}. I allmänhet gäller att om x^{2}+bx+c är en jämn kvadrat kan den alltid faktoriseras som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{1}{3}\right)^{2}=\frac{91}{9}$$

Dra kvadratroten ur båda ekvationsled.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{91}{9}}$$

Förenkla.

$$x-\frac{1}{3}=\frac{\sqrt{91}}{3} x-\frac{1}{3}=-\frac{\sqrt{91}}{3}$$

Addera \frac{1}{3} till båda ekvationsled.

$$x=\frac{\sqrt{91}+1}{3} x=\frac{1-\sqrt{91}}{3}$$