Lös 84x^2+4sqrt{3}x+3=0

$$84 x ^ { 2 } + 4 \sqrt { 3 } x + 3 = 0$$

Lös ut x (complex solution)

$$x=\frac{\sqrt{15}i}{21}-\frac{\sqrt{3}}{42}\approx -0,041239305+0,184427778i$$

$$x=-\frac{\sqrt{15}i}{21}-\frac{\sqrt{3}}{42}\approx -0,041239305-0,184427778i$$

Steg med lösningsformeln

Alla ekvationer på formen ax^{2}+bx+c=0 kan lösas med hjälp av lösningsformeln: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Lösningsformeln ger två lösningar, en när ± är addition och en när det är subtraktion.

$$84x^{2}+4\sqrt{3}x+3=0$$

Den här ekvationen är skriven i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersätt a med 84, b med 4\sqrt{3} och c med 3 i andragradsekvationen \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-4\sqrt{3}±\sqrt{\left(4\sqrt{3}\right)^{2}-4\times 84\times 3}}{2\times 84}$$

Kvadrera 4\sqrt{3}.

$$x=\frac{-4\sqrt{3}±\sqrt{48-4\times 84\times 3}}{2\times 84}$$

Multiplicera -4 med 84.

$$x=\frac{-4\sqrt{3}±\sqrt{48-336\times 3}}{2\times 84}$$

Multiplicera -336 med 3.

$$x=\frac{-4\sqrt{3}±\sqrt{48-1008}}{2\times 84}$$

Addera 48 till -1008.

$$x=\frac{-4\sqrt{3}±\sqrt{-960}}{2\times 84}$$

Dra kvadratroten ur -960.

$$x=\frac{-4\sqrt{3}±8\sqrt{15}i}{2\times 84}$$

Multiplicera 2 med 84.

$$x=\frac{-4\sqrt{3}±8\sqrt{15}i}{168}$$

Lös nu ekvationen x=\frac{-4\sqrt{3}±8\sqrt{15}i}{168} när ± är plus. Addera -4\sqrt{3} till 8i\sqrt{15}.

$$x=\frac{-4\sqrt{3}+8\sqrt{15}i}{168}$$

Dela -4\sqrt{3}+8i\sqrt{15} med 168.

$$x=\frac{\sqrt{15}i}{21}-\frac{\sqrt{3}}{42}$$

Lös nu ekvationen x=\frac{-4\sqrt{3}±8\sqrt{15}i}{168} när ± är minus. Subtrahera 8i\sqrt{15} från -4\sqrt{3}.

$$x=\frac{-8\sqrt{15}i-4\sqrt{3}}{168}$$

Dela -4\sqrt{3}-8i\sqrt{15} med 168.

$$x=-\frac{\sqrt{15}i}{21}-\frac{\sqrt{3}}{42}$$

Ekvationen har lösts.

$$x=\frac{\sqrt{15}i}{21}-\frac{\sqrt{3}}{42} x=-\frac{\sqrt{15}i}{21}-\frac{\sqrt{3}}{42}$$

Steg för kvadratkomplettering

Andragradsekvationer som den här kan lösas med hjälp av kvadratkomplettering. För kvadratkomplettering måste ekvationen först skrivas om på formen x^{2}+bx=c.

$$84x^{2}+4\sqrt{3}x+3=0$$

Subtrahera 3 från båda ekvationsled.

$$84x^{2}+4\sqrt{3}x+3-3=-3$$

Subtraktion av 3 från sig självt ger 0 som resultat.

$$84x^{2}+4\sqrt{3}x=-3$$

Dividera båda led med 84.

$$\frac{84x^{2}+4\sqrt{3}x}{84}=-\frac{3}{84}$$

Division med 84 tar ut multiplikationen med 84.

$$x^{2}+\frac{4\sqrt{3}}{84}x=-\frac{3}{84}$$

Dela 4\sqrt{3} med 84.

$$x^{2}+\frac{\sqrt{3}}{21}x=-\frac{3}{84}$$

Minska bråktalet \frac{-3}{84} till de lägsta termerna genom att extrahera och eliminera 3.

$$x^{2}+\frac{\sqrt{3}}{21}x=-\frac{1}{28}$$

Dividera \frac{\sqrt{3}}{21}, koefficienten för termen x, med 2 för att få \frac{\sqrt{3}}{42}. Addera sedan kvadraten av \frac{\sqrt{3}}{42} till båda ekvationsleden. Det här steget gör ekvationens vänstra sida till en jämn kvadrat.

$$x^{2}+\frac{\sqrt{3}}{21}x+\left(\frac{\sqrt{3}}{42}\right)^{2}=-\frac{1}{28}+\left(\frac{\sqrt{3}}{42}\right)^{2}$$

Kvadrera \frac{\sqrt{3}}{42}.

$$x^{2}+\frac{\sqrt{3}}{21}x+\frac{1}{588}=-\frac{1}{28}+\frac{1}{588}$$

Addera -\frac{1}{28} till \frac{1}{588} genom att hitta en gemensam nämnare och sedan addera täljarna. Förkorta sedan bråktalet till lägsta term om det går.

$$x^{2}+\frac{\sqrt{3}}{21}x+\frac{1}{588}=-\frac{5}{147}$$

Faktorisera x^{2}+\frac{\sqrt{3}}{21}x+\frac{1}{588}. I allmänhet kan den alltid faktoriseras som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} när x^{2}+bx+c är en perfekt kvadrat.

$$\left(x+\frac{\sqrt{3}}{42}\right)^{2}=-\frac{5}{147}$$

Dra kvadratroten ur båda ekvationsled.

$$\sqrt{\left(x+\frac{\sqrt{3}}{42}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{5}{147}}$$

Förenkla.

$$x+\frac{\sqrt{3}}{42}=\frac{\sqrt{15}i}{21} x+\frac{\sqrt{3}}{42}=-\frac{\sqrt{15}i}{21}$$

Subtrahera \frac{\sqrt{3}}{42} från båda ekvationsled.

$$x=\frac{\sqrt{15}i}{21}-\frac{\sqrt{3}}{42} x=-\frac{\sqrt{15}i}{21}-\frac{\sqrt{3}}{42}$$