Lös 81x^2+180x+100

$$81 x ^ { 2 } + 180 x + 100$$

Faktorisera

$$\left(9x+10\right)^{2}$$

Lösningssteg

Faktorisera uttrycket genom gruppering. Först måste uttrycket skrivas om som 81x^{2}+ax+bx+100. Konfigurera ett system som ska lösas om du vill söka efter a och b.

$$a+b=180 ab=81\times 100=8100$$

Eftersom ab är positivt a och b ha samma tecken. Eftersom a+b är positivt är a och b positiva. Lista alla sådana heltalspar som ger produkten 8100.

$$1,8100 2,4050 3,2700 4,2025 5,1620 6,1350 9,900 10,810 12,675 15,540 18,450 20,405 25,324 27,300 30,270 36,225 45,180 50,162 54,150 60,135 75,108 81,100 90,90$$

Beräkna summan för varje par.

$$1+8100=8101 2+4050=4052 3+2700=2703 4+2025=2029 5+1620=1625 6+1350=1356 9+900=909 10+810=820 12+675=687 15+540=555 18+450=468 20+405=425 25+324=349 27+300=327 30+270=300 36+225=261 45+180=225 50+162=212 54+150=204 60+135=195 75+108=183 81+100=181 90+90=180$$

Lösningen är det par som ger Summa 180.

$$a=90 b=90$$

Skriv om 81x^{2}+180x+100 som \left(81x^{2}+90x\right)+\left(90x+100\right).

$$\left(81x^{2}+90x\right)+\left(90x+100\right)$$

Utfaktor 9x i den första och den 10 i den andra gruppen.

$$9x\left(9x+10\right)+10\left(9x+10\right)$$

Bryt ut den gemensamma termen 9x+10 genom att använda distributivitet.

$$\left(9x+10\right)\left(9x+10\right)$$

Skriv om som en binomkvadrat.

$$\left(9x+10\right)^{2}$$

Steg med kvadratroten ur binomial

Det här trinomet har formen av en trinomkvadrat, eventuellt multiplicerad med en gemensam faktor. Trinomkvadrater kan faktoriseras genom att beräkna kvadratrötterna för termen med högst grad och termen med lägst grad.

$$factor(81x^{2}+180x+100)$$

Hitta den största gemensamma faktorn för koefficienterna.

$$gcf(81,180,100)=1$$

Beräkna kvadratroten av termen med högst grad, 81x^{2}.

$$\sqrt{81x^{2}}=9x$$

Beräkna kvadratroten av termen med lägst grad, 100.

$$\sqrt{100}=10$$

Trinomkvadraten är binomkvadraten som är summan av eller differensen mellan kvadratroten ur termen med högst grad och kvadratroten ur termen med lägst grad, där tecknet är tecknet för den mittersta termen i trinomkvadraten.

$$\left(9x+10\right)^{2}$$

Steg med lösningsformeln

Ett kvadratisk polynom kan faktoriseras med transformeringen ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), där x_{1} och x_{2} är lösningarna för andragradsekvationen ax^{2}+bx+c=0.

$$81x^{2}+180x+100=0$$

Alla ekvationer på formen ax^{2}+bx+c=0 kan lösas med hjälp av lösningsformeln: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Lösningsformeln ger två lösningar, en när ± är addition och en när det är subtraktion.

$$x=\frac{-180±\sqrt{180^{2}-4\times 81\times 100}}{2\times 81}$$

Kvadrera 180.

$$x=\frac{-180±\sqrt{32400-4\times 81\times 100}}{2\times 81}$$

Multiplicera -4 med 81.

$$x=\frac{-180±\sqrt{32400-324\times 100}}{2\times 81}$$

Multiplicera -324 med 100.

$$x=\frac{-180±\sqrt{32400-32400}}{2\times 81}$$

Addera 32400 till -32400.

$$x=\frac{-180±\sqrt{0}}{2\times 81}$$

Dra kvadratroten ur 0.

$$x=\frac{-180±0}{2\times 81}$$

Multiplicera 2 med 81.

$$x=\frac{-180±0}{162}$$

Faktorisera det ursprungliga uttrycket med ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right). Ersätt x_{1} med -\frac{10}{9} och x_{2} med -\frac{10}{9}.

$$81x^{2}+180x+100=81\left(x-\left(-\frac{10}{9}\right)\right)\left(x-\left(-\frac{10}{9}\right)\right)$$

Förenkla alla uttryck på formen p-\left(-q\right) till p+q.

$$81x^{2}+180x+100=81\left(x+\frac{10}{9}\right)\left(x+\frac{10}{9}\right)$$

Addera \frac{10}{9} till x genom att hitta en gemensam nämnare och sedan addera täljarna. Förkorta sedan bråktalet till lägsta term om det går.

$$81x^{2}+180x+100=81\times \frac{9x+10}{9}\left(x+\frac{10}{9}\right)$$

Addera \frac{10}{9} till x genom att hitta en gemensam nämnare och sedan addera täljarna. Förkorta sedan bråktalet till lägsta term om det går.

$$81x^{2}+180x+100=81\times \frac{9x+10}{9}\times \frac{9x+10}{9}$$

Multiplicera \frac{9x+10}{9} med \frac{9x+10}{9} genom att multiplicera täljare med täljare och nämnare med nämnare. Förkorta sedan bråktalet till lägsta term om det går.

$$81x^{2}+180x+100=81\times \frac{\left(9x+10\right)\left(9x+10\right)}{9\times 9}$$

Multiplicera 9 med 9.

$$81x^{2}+180x+100=81\times \frac{\left(9x+10\right)\left(9x+10\right)}{81}$$

Tar ut den största gemensamma faktorn 81 i 81 och 81.

$$81x^{2}+180x+100=\left(9x+10\right)\left(9x+10\right)$$

Beräkna

$$\left(9x+10\right)^{2}$$