Lös 81x^2+90x+25

$$81 { x }^{ 2 } +90x+25$$

Faktorisera

$$\left(9x+5\right)^{2}$$

Lösningssteg

Faktorisera uttrycket genom gruppering. Först måste uttrycket skrivas om som 81x^{2}+ax+bx+25. Konfigurera ett system som ska lösas om du vill söka efter a och b.

$$a+b=90 ab=81\times 25=2025$$

Eftersom ab är positivt a och b ha samma tecken. Eftersom a+b är positivt är a och b positiva. Lista alla sådana heltalspar som ger produkten 2025.

$$1,2025 3,675 5,405 9,225 15,135 25,81 27,75 45,45$$

Beräkna summan för varje par.

$$1+2025=2026 3+675=678 5+405=410 9+225=234 15+135=150 25+81=106 27+75=102 45+45=90$$

Lösningen är det par som ger Summa 90.

$$a=45 b=45$$

Skriv om 81x^{2}+90x+25 som \left(81x^{2}+45x\right)+\left(45x+25\right).

$$\left(81x^{2}+45x\right)+\left(45x+25\right)$$

Bryt ut 9x i den första och 5 i den andra gruppen.

$$9x\left(9x+5\right)+5\left(9x+5\right)$$

Bryt ut den gemensamma termen 9x+5 genom att använda distributivitet.

$$\left(9x+5\right)\left(9x+5\right)$$

Skriv om som en binomkvadrat.

$$\left(9x+5\right)^{2}$$

Steg med kvadratroten ur binomial

Det här trinomet har formen av en trinomkvadrat, eventuellt multiplicerad med en gemensam faktor. Trinomkvadrater kan faktoriseras genom att beräkna kvadratrötterna för termen med högst grad och termen med lägst grad.

$$factor(81x^{2}+90x+25)$$

Hitta den största gemensamma faktorn för koefficienterna.

$$gcf(81,90,25)=1$$

Beräkna kvadratroten av termen med högst grad, 81x^{2}.

$$\sqrt{81x^{2}}=9x$$

Beräkna kvadratroten av termen med lägst grad, 25.

$$\sqrt{25}=5$$

Trinomkvadraten är binomkvadraten som är summan av eller differensen mellan kvadratroten ur termen med högst grad och kvadratroten ur termen med lägst grad, där tecknet är tecknet för den mittersta termen i trinomkvadraten.

$$\left(9x+5\right)^{2}$$

Steg med lösningsformeln

Ett kvadratisk polynom kan faktoriseras med transformeringen ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), där x_{1} och x_{2} är lösningarna för andragradsekvationen ax^{2}+bx+c=0.

$$81x^{2}+90x+25=0$$

Alla ekvationer på formen ax^{2}+bx+c=0 kan lösas med hjälp av lösningsformeln: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Lösningsformeln ger två lösningar, en när ± är addition och en när det är subtraktion.

$$x=\frac{-90±\sqrt{90^{2}-4\times 81\times 25}}{2\times 81}$$

Kvadrera 90.

$$x=\frac{-90±\sqrt{8100-4\times 81\times 25}}{2\times 81}$$

Multiplicera -4 med 81.

$$x=\frac{-90±\sqrt{8100-324\times 25}}{2\times 81}$$

Multiplicera -324 med 25.

$$x=\frac{-90±\sqrt{8100-8100}}{2\times 81}$$

Addera 8100 till -8100.

$$x=\frac{-90±\sqrt{0}}{2\times 81}$$

Dra kvadratroten ur 0.

$$x=\frac{-90±0}{2\times 81}$$

Multiplicera 2 med 81.

$$x=\frac{-90±0}{162}$$

Faktorisera det ursprungliga uttrycket med ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right). Ersätt x_{1} med -\frac{5}{9} och x_{2} med -\frac{5}{9}.

$$81x^{2}+90x+25=81\left(x-\left(-\frac{5}{9}\right)\right)\left(x-\left(-\frac{5}{9}\right)\right)$$

Förenkla alla uttryck på formen p-\left(-q\right) till p+q.

$$81x^{2}+90x+25=81\left(x+\frac{5}{9}\right)\left(x+\frac{5}{9}\right)$$

Addera \frac{5}{9} till x genom att hitta en gemensam nämnare och sedan addera täljarna. Förkorta sedan bråktalet till lägsta term om det går.

$$81x^{2}+90x+25=81\times \frac{9x+5}{9}\left(x+\frac{5}{9}\right)$$

Addera \frac{5}{9} till x genom att hitta en gemensam nämnare och sedan addera täljarna. Förkorta sedan bråktalet till lägsta term om det går.

$$81x^{2}+90x+25=81\times \frac{9x+5}{9}\times \frac{9x+5}{9}$$

Multiplicera \frac{9x+5}{9} med \frac{9x+5}{9} genom att multiplicera täljare med täljare och nämnare med nämnare. Förkorta sedan bråktalet till lägsta term om det går.

$$81x^{2}+90x+25=81\times \frac{\left(9x+5\right)\left(9x+5\right)}{9\times 9}$$

Multiplicera 9 med 9.

$$81x^{2}+90x+25=81\times \frac{\left(9x+5\right)\left(9x+5\right)}{81}$$

Förkorta 81, den största gemensamma faktorn i 81 och 81.

$$81x^{2}+90x+25=\left(9x+5\right)\left(9x+5\right)$$

Beräkna

$$\left(9x+5\right)^{2}$$