Lös 80x^2+23x-15

$$80 { x }^{ 2 } +23x-15$$

Faktorisera

$$\left(16x-5\right)\left(5x+3\right)$$

Lösningssteg

Faktorisera uttrycket genom gruppering. Först måste uttrycket skrivas om som 80x^{2}+ax+bx-15. Konfigurera ett system som ska lösas om du vill söka efter a och b.

$$a+b=23 ab=80\left(-15\right)=-1200$$

Eftersom ab är negativt a och b har motsatta tecken. Eftersom a+b är positivt har det positiva talet större absolut värde än det negativa. Lista alla sådana heltalspar som ger produkten -1200.

$$-1,1200 -2,600 -3,400 -4,300 -5,240 -6,200 -8,150 -10,120 -12,100 -15,80 -16,75 -20,60 -24,50 -25,48 -30,40$$

Beräkna summan för varje par.

$$-1+1200=1199 -2+600=598 -3+400=397 -4+300=296 -5+240=235 -6+200=194 -8+150=142 -10+120=110 -12+100=88 -15+80=65 -16+75=59 -20+60=40 -24+50=26 -25+48=23 -30+40=10$$

Lösningen är det par som ger Summa 23.

$$a=-25 b=48$$

Skriv om 80x^{2}+23x-15 som \left(80x^{2}-25x\right)+\left(48x-15\right).

$$\left(80x^{2}-25x\right)+\left(48x-15\right)$$

Utfaktor 5x i den första och den 3 i den andra gruppen.

$$5x\left(16x-5\right)+3\left(16x-5\right)$$

Bryt ut den gemensamma termen 16x-5 genom att använda distributivitet.

$$\left(16x-5\right)\left(5x+3\right)$$

Steg med lösningsformeln

Ett kvadratisk polynom kan faktoriseras med transformeringen ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), där x_{1} och x_{2} är lösningarna för andragradsekvationen ax^{2}+bx+c=0.

$$80x^{2}+23x-15=0$$

Alla ekvationer på formen ax^{2}+bx+c=0 kan lösas med hjälp av lösningsformeln: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Lösningsformeln ger två lösningar, en när ± är addition och en när det är subtraktion.

$$x=\frac{-23±\sqrt{23^{2}-4\times 80\left(-15\right)}}{2\times 80}$$

Kvadrera 23.

$$x=\frac{-23±\sqrt{529-4\times 80\left(-15\right)}}{2\times 80}$$

Multiplicera -4 med 80.

$$x=\frac{-23±\sqrt{529-320\left(-15\right)}}{2\times 80}$$

Multiplicera -320 med -15.

$$x=\frac{-23±\sqrt{529+4800}}{2\times 80}$$

Addera 529 till 4800.

$$x=\frac{-23±\sqrt{5329}}{2\times 80}$$

Dra kvadratroten ur 5329.

$$x=\frac{-23±73}{2\times 80}$$

Multiplicera 2 med 80.

$$x=\frac{-23±73}{160}$$

Lös nu ekvationen x=\frac{-23±73}{160} när ± är plus. Addera -23 till 73.

$$x=\frac{50}{160}$$

Minska bråktalet \frac{50}{160} till de lägsta termerna genom att extrahera och eliminera 10.

$$x=\frac{5}{16}$$

Lös nu ekvationen x=\frac{-23±73}{160} när ± är minus. Subtrahera 73 från -23.

$$x=-\frac{96}{160}$$

Minska bråktalet \frac{-96}{160} till de lägsta termerna genom att extrahera och eliminera 32.

$$x=-\frac{3}{5}$$

Faktorisera det ursprungliga uttrycket med ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right). Ersätt x_{1} med \frac{5}{16} och x_{2} med -\frac{3}{5}.

$$80x^{2}+23x-15=80\left(x-\frac{5}{16}\right)\left(x-\left(-\frac{3}{5}\right)\right)$$

Förenkla alla uttryck på formen p-\left(-q\right) till p+q.

$$80x^{2}+23x-15=80\left(x-\frac{5}{16}\right)\left(x+\frac{3}{5}\right)$$

Subtrahera \frac{5}{16} från x genom att hitta en gemensam nämnare och sedan subtrahera täljarna. Förkorta sedan bråktalet till lägsta term om det går.

$$80x^{2}+23x-15=80\times \frac{16x-5}{16}\left(x+\frac{3}{5}\right)$$

Addera \frac{3}{5} till x genom att hitta en gemensam nämnare och sedan addera täljarna. Förkorta sedan bråktalet till lägsta term om det går.

$$80x^{2}+23x-15=80\times \frac{16x-5}{16}\times \frac{5x+3}{5}$$

Multiplicera \frac{16x-5}{16} med \frac{5x+3}{5} genom att multiplicera täljare med täljare och nämnare med nämnare. Förkorta sedan bråktalet till lägsta term om det går.

$$80x^{2}+23x-15=80\times \frac{\left(16x-5\right)\left(5x+3\right)}{16\times 5}$$

Multiplicera 16 med 5.

$$80x^{2}+23x-15=80\times \frac{\left(16x-5\right)\left(5x+3\right)}{80}$$

Tar ut den största gemensamma faktorn 80 i 80 och 80.

$$80x^{2}+23x-15=\left(16x-5\right)\left(5x+3\right)$$

Beräkna

$$\left(16x-5\right)\left(5x+3\right)$$