Lös 8x-x^2=14

$$8 x - x ^ { 2 } = 14$$

Lös ut x

$$x=\sqrt{2}+4\approx 5,414213562$$

$$x=4-\sqrt{2}\approx 2,585786438$$

Steg med lösningsformeln

Alla ekvationer på formen ax^{2}+bx+c=0 kan lösas med hjälp av lösningsformeln: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Lösningsformeln ger två lösningar, en när ± är addition och en när det är subtraktion.

$$-x^{2}+8x=14$$

Subtrahera 14 från båda ekvationsled.

$$-x^{2}+8x-14=14-14$$

Subtraktion av 14 från sig självt ger 0 som resultat.

$$-x^{2}+8x-14=0$$

Den här ekvationen är skriven i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersätt a med -1, b med 8 och c med -14 i andragradsekvationen \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-8±\sqrt{8^{2}-4\left(-1\right)\left(-14\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Kvadrera 8.

$$x=\frac{-8±\sqrt{64-4\left(-1\right)\left(-14\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Multiplicera -4 med -1.

$$x=\frac{-8±\sqrt{64+4\left(-14\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Multiplicera 4 med -14.

$$x=\frac{-8±\sqrt{64-56}}{2\left(-1\right)}$$

Addera 64 till -56.

$$x=\frac{-8±\sqrt{8}}{2\left(-1\right)}$$

Dra kvadratroten ur 8.

$$x=\frac{-8±2\sqrt{2}}{2\left(-1\right)}$$

Multiplicera 2 med -1.

$$x=\frac{-8±2\sqrt{2}}{-2}$$

Lös nu ekvationen x=\frac{-8±2\sqrt{2}}{-2} när ± är plus. Addera -8 till 2\sqrt{2}.

$$x=\frac{2\sqrt{2}-8}{-2}$$

Dela 2\sqrt{2}-8 med -2.

$$x=4-\sqrt{2}$$

Lös nu ekvationen x=\frac{-8±2\sqrt{2}}{-2} när ± är minus. Subtrahera 2\sqrt{2} från -8.

$$x=\frac{-2\sqrt{2}-8}{-2}$$

Dela -8-2\sqrt{2} med -2.

$$x=\sqrt{2}+4$$

Ekvationen har lösts.

$$x=4-\sqrt{2} x=\sqrt{2}+4$$

Steg för kvadratkomplettering

Andragradsekvationer som den här kan lösas med hjälp av kvadratkomplettering. För kvadratkomplettering måste ekvationen först skrivas om på formen x^{2}+bx=c.

$$-x^{2}+8x=14$$

Dividera båda led med -1.

$$\frac{-x^{2}+8x}{-1}=\frac{14}{-1}$$

Division med -1 tar ut multiplikationen med -1.

$$x^{2}+\frac{8}{-1}x=\frac{14}{-1}$$

Dela 8 med -1.

$$x^{2}-8x=\frac{14}{-1}$$

Dela 14 med -1.

$$x^{2}-8x=-14$$

Dividera -8, koefficienten för termen x, med 2 för att få -4. Addera sedan kvadraten av -4 till båda ekvationsleden. Det här steget gör ekvationens vänstra sida till en jämn kvadrat.

$$x^{2}-8x+\left(-4\right)^{2}=-14+\left(-4\right)^{2}$$

Kvadrera -4.

$$x^{2}-8x+16=-14+16$$

Addera -14 till 16.

$$x^{2}-8x+16=2$$

Faktorisera x^{2}-8x+16. I allmänhet kan den alltid faktoriseras som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} när x^{2}+bx+c är en perfekt kvadrat.

$$\left(x-4\right)^{2}=2$$

Dra kvadratroten ur båda ekvationsled.

$$\sqrt{\left(x-4\right)^{2}}=\sqrt{2}$$

Förenkla.

$$x-4=\sqrt{2} x-4=-\sqrt{2}$$

Addera 4 till båda ekvationsled.

$$x=\sqrt{2}+4 x=4-\sqrt{2}$$