Lös 8x^2-8x-1=0

$$8 x ^ { 2 } - 8 x - 1 = 0$$

Lös ut x

$$x=\frac{\sqrt{6}}{4}+\frac{1}{2}\approx 1,112372436$$

$$x=-\frac{\sqrt{6}}{4}+\frac{1}{2}\approx -0,112372436$$

Steg med lösningsformeln

Alla ekvationer på formen ax^{2}+bx+c=0 kan lösas med hjälp av lösningsformeln: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Lösningsformeln ger två lösningar, en när ± är addition och en när det är subtraktion.

$$8x^{2}-8x-1=0$$

Den här ekvationen är skriven i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersätt a med 8, b med -8 och c med -1 i andragradsekvationen \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{\left(-8\right)^{2}-4\times 8\left(-1\right)}}{2\times 8}$$

Kvadrera -8.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{64-4\times 8\left(-1\right)}}{2\times 8}$$

Multiplicera -4 med 8.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{64-32\left(-1\right)}}{2\times 8}$$

Multiplicera -32 med -1.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{64+32}}{2\times 8}$$

Addera 64 till 32.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{96}}{2\times 8}$$

Dra kvadratroten ur 96.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±4\sqrt{6}}{2\times 8}$$

Motsatsen till -8 är 8.

$$x=\frac{8±4\sqrt{6}}{2\times 8}$$

Multiplicera 2 med 8.

$$x=\frac{8±4\sqrt{6}}{16}$$

Lös nu ekvationen x=\frac{8±4\sqrt{6}}{16} när ± är plus. Addera 8 till 4\sqrt{6}.

$$x=\frac{4\sqrt{6}+8}{16}$$

Dela 8+4\sqrt{6} med 16.

$$x=\frac{\sqrt{6}}{4}+\frac{1}{2}$$

Lös nu ekvationen x=\frac{8±4\sqrt{6}}{16} när ± är minus. Subtrahera 4\sqrt{6} från 8.

$$x=\frac{8-4\sqrt{6}}{16}$$

Dela 8-4\sqrt{6} med 16.

$$x=-\frac{\sqrt{6}}{4}+\frac{1}{2}$$

Ekvationen har lösts.

$$x=\frac{\sqrt{6}}{4}+\frac{1}{2} x=-\frac{\sqrt{6}}{4}+\frac{1}{2}$$

Steg för kvadratkomplettering

Andragradsekvationer som den här kan lösas med hjälp av kvadratkomplettering. För kvadratkomplettering måste ekvationen först skrivas om på formen x^{2}+bx=c.

$$8x^{2}-8x-1=0$$

Addera 1 till båda ekvationsled.

$$8x^{2}-8x-1-\left(-1\right)=-\left(-1\right)$$

Subtraktion av -1 från sig självt ger 0 som resultat.

$$8x^{2}-8x=-\left(-1\right)$$

Subtrahera -1 från 0.

$$8x^{2}-8x=1$$

Dividera båda led med 8.

$$\frac{8x^{2}-8x}{8}=\frac{1}{8}$$

Division med 8 tar ut multiplikationen med 8.

$$x^{2}+\left(-\frac{8}{8}\right)x=\frac{1}{8}$$

Dela -8 med 8.

$$x^{2}-x=\frac{1}{8}$$

Dividera -1, koefficienten för termen x, med 2 för att få -\frac{1}{2}. Addera sedan kvadraten av -\frac{1}{2} till båda ekvationsleden. Det här steget gör ekvationens vänstra sida till en jämn kvadrat.

$$x^{2}-x+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}=\frac{1}{8}+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}$$

Kvadrera -\frac{1}{2} genom att kvadrera både täljaren och nämnaren i bråktalet.

$$x^{2}-x+\frac{1}{4}=\frac{1}{8}+\frac{1}{4}$$

Addera \frac{1}{8} till \frac{1}{4} genom att hitta en gemensam nämnare och sedan addera täljarna. Förkorta sedan bråktalet till lägsta term om det går.

$$x^{2}-x+\frac{1}{4}=\frac{3}{8}$$

Faktorisera x^{2}-x+\frac{1}{4}. I allmänhet gäller att om x^{2}+bx+c är en jämn kvadrat kan den alltid faktoriseras som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{1}{2}\right)^{2}=\frac{3}{8}$$

Dra kvadratroten ur båda ekvationsled.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{3}{8}}$$

Förenkla.

$$x-\frac{1}{2}=\frac{\sqrt{6}}{4} x-\frac{1}{2}=-\frac{\sqrt{6}}{4}$$

Addera \frac{1}{2} till båda ekvationsled.

$$x=\frac{\sqrt{6}}{4}+\frac{1}{2} x=-\frac{\sqrt{6}}{4}+\frac{1}{2}$$