Lös 8x^2-12x-11=0

$$8 x ^ { 2 } - 12 x - 11 = 0$$

Lös ut x

$$x = \frac{\sqrt{31} + 3}{4} \approx 2,141941091$$

$$x=\frac{3-\sqrt{31}}{4}\approx -0,641941091$$

Steg med lösningsformeln

Alla ekvationer på formen ax^{2}+bx+c=0 kan lösas med hjälp av lösningsformeln: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Lösningsformeln ger två lösningar, en när ± är addition och en när det är subtraktion.

$$8x^{2}-12x-11=0$$

Den här ekvationen är skriven i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersätt a med 8, b med -12 och c med -11 i andragradsekvationen \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{\left(-12\right)^{2}-4\times 8\left(-11\right)}}{2\times 8}$$

Kvadrera -12.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144-4\times 8\left(-11\right)}}{2\times 8}$$

Multiplicera -4 med 8.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144-32\left(-11\right)}}{2\times 8}$$

Multiplicera -32 med -11.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144+352}}{2\times 8}$$

Addera 144 till 352.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{496}}{2\times 8}$$

Dra kvadratroten ur 496.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±4\sqrt{31}}{2\times 8}$$

Motsatsen till -12 är 12.

$$x=\frac{12±4\sqrt{31}}{2\times 8}$$

Multiplicera 2 med 8.

$$x=\frac{12±4\sqrt{31}}{16}$$

Lös nu ekvationen x=\frac{12±4\sqrt{31}}{16} när ± är plus. Addera 12 till 4\sqrt{31}.

$$x=\frac{4\sqrt{31}+12}{16}$$

Dela 12+4\sqrt{31} med 16.

$$x=\frac{\sqrt{31}+3}{4}$$

Lös nu ekvationen x=\frac{12±4\sqrt{31}}{16} när ± är minus. Subtrahera 4\sqrt{31} från 12.

$$x=\frac{12-4\sqrt{31}}{16}$$

Dela 12-4\sqrt{31} med 16.

$$x=\frac{3-\sqrt{31}}{4}$$

Ekvationen har lösts.

$$x=\frac{\sqrt{31}+3}{4} x=\frac{3-\sqrt{31}}{4}$$

Steg för kvadratkomplettering

Andragradsekvationer som den här kan lösas med hjälp av kvadratkomplettering. För kvadratkomplettering måste ekvationen först skrivas om på formen x^{2}+bx=c.

$$8x^{2}-12x-11=0$$

Addera 11 till båda ekvationsled.

$$8x^{2}-12x-11-\left(-11\right)=-\left(-11\right)$$

Subtraktion av -11 från sig självt ger 0 som resultat.

$$8x^{2}-12x=-\left(-11\right)$$

Subtrahera -11 från 0.

$$8x^{2}-12x=11$$

Dividera båda led med 8.

$$\frac{8x^{2}-12x}{8}=\frac{11}{8}$$

Division med 8 tar ut multiplikationen med 8.

$$x^{2}+\left(-\frac{12}{8}\right)x=\frac{11}{8}$$

Minska bråktalet \frac{-12}{8} till de lägsta termerna genom att extrahera och eliminera 4.

$$x^{2}-\frac{3}{2}x=\frac{11}{8}$$

Dividera -\frac{3}{2}, koefficienten för termen x, med 2 för att få -\frac{3}{4}. Addera sedan kvadraten av -\frac{3}{4} till båda ekvationsleden. Det här steget gör ekvationens vänstra sida till en jämn kvadrat.

$$x^{2}-\frac{3}{2}x+\left(-\frac{3}{4}\right)^{2}=\frac{11}{8}+\left(-\frac{3}{4}\right)^{2}$$

Kvadrera -\frac{3}{4} genom att kvadrera både täljaren och nämnaren i bråktalet.

$$x^{2}-\frac{3}{2}x+\frac{9}{16}=\frac{11}{8}+\frac{9}{16}$$

Addera \frac{11}{8} till \frac{9}{16} genom att hitta en gemensam nämnare och sedan addera täljarna. Förkorta sedan bråktalet till lägsta term om det går.

$$x^{2}-\frac{3}{2}x+\frac{9}{16}=\frac{31}{16}$$

Faktorisera x^{2}-\frac{3}{2}x+\frac{9}{16}. I allmänhet kan den alltid faktoriseras som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} när x^{2}+bx+c är en perfekt kvadrat.

$$\left(x-\frac{3}{4}\right)^{2}=\frac{31}{16}$$

Dra kvadratroten ur båda ekvationsled.

$$\sqrt{\left(x-\frac{3}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{31}{16}}$$

Förenkla.

$$x-\frac{3}{4}=\frac{\sqrt{31}}{4} x-\frac{3}{4}=-\frac{\sqrt{31}}{4}$$

Addera \frac{3}{4} till båda ekvationsled.

$$x=\frac{\sqrt{31}+3}{4} x=\frac{3-\sqrt{31}}{4}$$