Lös 8n^2-106n-7500=0

$$8 n ^ { 2 } - 106 n - 7500 = 0$$

Lös ut n

$$n = \frac{\sqrt{62809} + 53}{8} \approx 37,952154754$$

$$n=\frac{53-\sqrt{62809}}{8}\approx -24,702154754$$

Steg med lösningsformeln

Alla ekvationer på formen ax^{2}+bx+c=0 kan lösas med hjälp av lösningsformeln: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Lösningsformeln ger två lösningar, en när ± är addition och en när det är subtraktion.

$$8n^{2}-106n-7500=0$$

Den här ekvationen är skriven i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersätt a med 8, b med -106 och c med -7500 i andragradsekvationen \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$n=\frac{-\left(-106\right)±\sqrt{\left(-106\right)^{2}-4\times 8\left(-7500\right)}}{2\times 8}$$

Kvadrera -106.

$$n=\frac{-\left(-106\right)±\sqrt{11236-4\times 8\left(-7500\right)}}{2\times 8}$$

Multiplicera -4 med 8.

$$n=\frac{-\left(-106\right)±\sqrt{11236-32\left(-7500\right)}}{2\times 8}$$

Multiplicera -32 med -7500.

$$n=\frac{-\left(-106\right)±\sqrt{11236+240000}}{2\times 8}$$

Addera 11236 till 240000.

$$n=\frac{-\left(-106\right)±\sqrt{251236}}{2\times 8}$$

Dra kvadratroten ur 251236.

$$n=\frac{-\left(-106\right)±2\sqrt{62809}}{2\times 8}$$

Motsatsen till -106 är 106.

$$n=\frac{106±2\sqrt{62809}}{2\times 8}$$

Multiplicera 2 med 8.

$$n=\frac{106±2\sqrt{62809}}{16}$$

Lös nu ekvationen n=\frac{106±2\sqrt{62809}}{16} när ± är plus. Addera 106 till 2\sqrt{62809}.

$$n=\frac{2\sqrt{62809}+106}{16}$$

Dela 106+2\sqrt{62809} med 16.

$$n=\frac{\sqrt{62809}+53}{8}$$

Lös nu ekvationen n=\frac{106±2\sqrt{62809}}{16} när ± är minus. Subtrahera 2\sqrt{62809} från 106.

$$n=\frac{106-2\sqrt{62809}}{16}$$

Dela 106-2\sqrt{62809} med 16.

$$n=\frac{53-\sqrt{62809}}{8}$$

Ekvationen har lösts.

$$n=\frac{\sqrt{62809}+53}{8} n=\frac{53-\sqrt{62809}}{8}$$

Steg för kvadratkomplettering

Andragradsekvationer som den här kan lösas med hjälp av kvadratkomplettering. För kvadratkomplettering måste ekvationen först skrivas om på formen x^{2}+bx=c.

$$8n^{2}-106n-7500=0$$

Addera 7500 till båda ekvationsled.

$$8n^{2}-106n-7500-\left(-7500\right)=-\left(-7500\right)$$

Subtraktion av -7500 från sig självt ger 0 som resultat.

$$8n^{2}-106n=-\left(-7500\right)$$

Subtrahera -7500 från 0.

$$8n^{2}-106n=7500$$

Dividera båda led med 8.

$$\frac{8n^{2}-106n}{8}=\frac{7500}{8}$$

Division med 8 tar ut multiplikationen med 8.

$$n^{2}+\left(-\frac{106}{8}\right)n=\frac{7500}{8}$$

Minska bråktalet \frac{-106}{8} till de lägsta termerna genom att extrahera och eliminera 2.

$$n^{2}-\frac{53}{4}n=\frac{7500}{8}$$

Minska bråktalet \frac{7500}{8} till de lägsta termerna genom att extrahera och eliminera 4.

$$n^{2}-\frac{53}{4}n=\frac{1875}{2}$$

Dividera -\frac{53}{4}, koefficienten för termen x, med 2 för att få -\frac{53}{8}. Addera sedan kvadraten av -\frac{53}{8} till båda ekvationsleden. Det här steget gör ekvationens vänstra sida till en jämn kvadrat.

$$n^{2}-\frac{53}{4}n+\left(-\frac{53}{8}\right)^{2}=\frac{1875}{2}+\left(-\frac{53}{8}\right)^{2}$$

Kvadrera -\frac{53}{8} genom att kvadrera både täljaren och nämnaren i bråktalet.

$$n^{2}-\frac{53}{4}n+\frac{2809}{64}=\frac{1875}{2}+\frac{2809}{64}$$

Addera \frac{1875}{2} till \frac{2809}{64} genom att hitta en gemensam nämnare och sedan addera täljarna. Förkorta sedan bråktalet till lägsta term om det går.

$$n^{2}-\frac{53}{4}n+\frac{2809}{64}=\frac{62809}{64}$$

Faktorisera n^{2}-\frac{53}{4}n+\frac{2809}{64}. I allmänhet kan den alltid faktoriseras som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} när x^{2}+bx+c är en perfekt kvadrat.

$$\left(n-\frac{53}{8}\right)^{2}=\frac{62809}{64}$$

Dra kvadratroten ur båda ekvationsled.

$$\sqrt{\left(n-\frac{53}{8}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{62809}{64}}$$

Förenkla.

$$n-\frac{53}{8}=\frac{\sqrt{62809}}{8} n-\frac{53}{8}=-\frac{\sqrt{62809}}{8}$$

Addera \frac{53}{8} till båda ekvationsled.

$$n=\frac{\sqrt{62809}+53}{8} n=\frac{53-\sqrt{62809}}{8}$$