Lös 8m^2-8(m+1)(3m-2)geq0

$$8 m ^ { 2 } - 8 ( m + 1 ) ( 3 m - 2 ) \geq 0$$

Lös ut m

$$m\in \begin{bmatrix}\frac{-\sqrt{17}-1}{4},\frac{\sqrt{17}-1}{4}\end{bmatrix}$$

Steg med lösningsformeln

Multiplicera -1 och 8 för att få -8.

$$8m^{2}-8\left(m+1\right)\left(3m-2\right)\geq 0$$

Använd den distributiva egenskapen för att multiplicera -8 med m+1.

$$8m^{2}+\left(-8m-8\right)\left(3m-2\right)\geq 0$$

Använd den distributiva egenskapen för att multiplicera -8m-8 med 3m-2 och slå ihop lika termer.

$$8m^{2}-24m^{2}-8m+16\geq 0$$

Slå ihop 8m^{2} och -24m^{2} för att få -16m^{2}.

$$-16m^{2}-8m+16\geq 0$$

Multiplicera olikheten med -1 för att göra koefficienten av den högsta potensen i -16m^{2}-8m+16 positiv. Eftersom -1 är negativt, ändras olikhetens riktning.

$$16m^{2}+8m-16\leq 0$$

Lös olikheten genom att faktorisera den vänstra sidan. Ett kvadratisk polynom kan faktoriseras med transformeringen ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), där x_{1} och x_{2} är lösningarna för andragradsekvationen ax^{2}+bx+c=0.

$$16m^{2}+8m-16=0$$

Alla ekvationer på formen ax^{2}+bx+c=0 kan lösas med hjälp av lösningsformeln: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ersätt 16 med a, 8 med b och -16 med c i lösningsformeln.

$$m=\frac{-8±\sqrt{8^{2}-4\times 16\left(-16\right)}}{2\times 16}$$

Gör beräkningarna.

$$m=\frac{-8±8\sqrt{17}}{32}$$

Lös ekvationen m=\frac{-8±8\sqrt{17}}{32} när ± är plus och när ± är minus.

$$m=\frac{\sqrt{17}-1}{4} m=\frac{-\sqrt{17}-1}{4}$$

Skriv om olikheten med hjälp av de erhållna lösningarna.

$$16\left(m-\frac{\sqrt{17}-1}{4}\right)\left(m-\frac{-\sqrt{17}-1}{4}\right)\leq 0$$

För att produkten skall kunna ≤0 måste ett av värdena m-\frac{\sqrt{17}-1}{4} och m-\frac{-\sqrt{17}-1}{4} ≥0 och den andra vara ≤0. Tänk på fallet när m-\frac{\sqrt{17}-1}{4}\geq 0 och m-\frac{-\sqrt{17}-1}{4}\leq 0.

$$m-\frac{\sqrt{17}-1}{4}\geq 0 m-\frac{-\sqrt{17}-1}{4}\leq 0$$

Detta är falskt för alla m.

$$m\in \emptyset$$

Tänk på fallet när m-\frac{\sqrt{17}-1}{4}\leq 0 och m-\frac{-\sqrt{17}-1}{4}\geq 0.

$$m-\frac{-\sqrt{17}-1}{4}\geq 0 m-\frac{\sqrt{17}-1}{4}\leq 0$$

Lösningen som uppfyller båda olikheterna är m\in \left[\frac{-\sqrt{17}-1}{4},\frac{\sqrt{17}-1}{4}\right].

$$m\in \begin{bmatrix}\frac{-\sqrt{17}-1}{4},\frac{\sqrt{17}-1}{4}\end{bmatrix}$$

Den slutliga lösningen är unionen av de erhållna lösningarna.

$$m\in \begin{bmatrix}\frac{-\sqrt{17}-1}{4},\frac{\sqrt{17}-1}{4}\end{bmatrix}$$