Lös 8x^2-6x-4=0

$$8 { x }^{ 2 } -6x-4=0$$

Lös ut x

$$x = \frac{\sqrt{41} + 3}{8} \approx 1,17539053$$

$$x=\frac{3-\sqrt{41}}{8}\approx -0,42539053$$

Steg med lösningsformeln

Alla ekvationer på formen ax^{2}+bx+c=0 kan lösas med hjälp av lösningsformeln: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Lösningsformeln ger två lösningar, en när ± är addition och en när det är subtraktion.

$$8x^{2}-6x-4=0$$

Den här ekvationen är skriven i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersätt a med 8, b med -6 och c med -4 i andragradsekvationen \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-6\right)±\sqrt{\left(-6\right)^{2}-4\times 8\left(-4\right)}}{2\times 8}$$

Kvadrera -6.

$$x=\frac{-\left(-6\right)±\sqrt{36-4\times 8\left(-4\right)}}{2\times 8}$$

Multiplicera -4 med 8.

$$x=\frac{-\left(-6\right)±\sqrt{36-32\left(-4\right)}}{2\times 8}$$

Multiplicera -32 med -4.

$$x=\frac{-\left(-6\right)±\sqrt{36+128}}{2\times 8}$$

Addera 36 till 128.

$$x=\frac{-\left(-6\right)±\sqrt{164}}{2\times 8}$$

Dra kvadratroten ur 164.

$$x=\frac{-\left(-6\right)±2\sqrt{41}}{2\times 8}$$

Motsatsen till -6 är 6.

$$x=\frac{6±2\sqrt{41}}{2\times 8}$$

Multiplicera 2 med 8.

$$x=\frac{6±2\sqrt{41}}{16}$$

Lös nu ekvationen x=\frac{6±2\sqrt{41}}{16} när ± är plus. Addera 6 till 2\sqrt{41}.

$$x=\frac{2\sqrt{41}+6}{16}$$

Dela 6+2\sqrt{41} med 16.

$$x=\frac{\sqrt{41}+3}{8}$$

Lös nu ekvationen x=\frac{6±2\sqrt{41}}{16} när ± är minus. Subtrahera 2\sqrt{41} från 6.

$$x=\frac{6-2\sqrt{41}}{16}$$

Dela 6-2\sqrt{41} med 16.

$$x=\frac{3-\sqrt{41}}{8}$$

Ekvationen har lösts.

$$x=\frac{\sqrt{41}+3}{8} x=\frac{3-\sqrt{41}}{8}$$

Steg för kvadratkomplettering

Andragradsekvationer som den här kan lösas med hjälp av kvadratkomplettering. För kvadratkomplettering måste ekvationen först skrivas om på formen x^{2}+bx=c.

$$8x^{2}-6x-4=0$$

Addera 4 till båda ekvationsled.

$$8x^{2}-6x-4-\left(-4\right)=-\left(-4\right)$$

Subtraktion av -4 från sig självt ger 0 som resultat.

$$8x^{2}-6x=-\left(-4\right)$$

Subtrahera -4 från 0.

$$8x^{2}-6x=4$$

Dividera båda led med 8.

$$\frac{8x^{2}-6x}{8}=\frac{4}{8}$$

Division med 8 tar ut multiplikationen med 8.

$$x^{2}+\left(-\frac{6}{8}\right)x=\frac{4}{8}$$

Minska bråktalet \frac{-6}{8} till de lägsta termerna genom att extrahera och eliminera 2.

$$x^{2}-\frac{3}{4}x=\frac{4}{8}$$

Minska bråktalet \frac{4}{8} till de lägsta termerna genom att extrahera och eliminera 4.

$$x^{2}-\frac{3}{4}x=\frac{1}{2}$$

Dividera -\frac{3}{4}, koefficienten för termen x, med 2 för att få -\frac{3}{8}. Addera sedan kvadraten av -\frac{3}{8} till båda ekvationsleden. Det här steget gör ekvationens vänstra sida till en jämn kvadrat.

$$x^{2}-\frac{3}{4}x+\left(-\frac{3}{8}\right)^{2}=\frac{1}{2}+\left(-\frac{3}{8}\right)^{2}$$

Kvadrera -\frac{3}{8} genom att kvadrera både täljaren och nämnaren i bråktalet.

$$x^{2}-\frac{3}{4}x+\frac{9}{64}=\frac{1}{2}+\frac{9}{64}$$

Addera \frac{1}{2} till \frac{9}{64} genom att hitta en gemensam nämnare och sedan addera täljarna. Förkorta sedan bråktalet till lägsta term om det går.

$$x^{2}-\frac{3}{4}x+\frac{9}{64}=\frac{41}{64}$$

Faktorisera x^{2}-\frac{3}{4}x+\frac{9}{64}. I allmänhet gäller att om x^{2}+bx+c är en jämn kvadrat kan den alltid faktoriseras som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{3}{8}\right)^{2}=\frac{41}{64}$$

Dra kvadratroten ur båda ekvationsled.

$$\sqrt{\left(x-\frac{3}{8}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{41}{64}}$$

Förenkla.

$$x-\frac{3}{8}=\frac{\sqrt{41}}{8} x-\frac{3}{8}=-\frac{\sqrt{41}}{8}$$

Addera \frac{3}{8} till båda ekvationsled.

$$x=\frac{\sqrt{41}+3}{8} x=\frac{3-\sqrt{41}}{8}$$