Lös 7x+5/2x^2-5/2x=1000

$$7x+ \frac{ 5 }{ 2 } { x }^{ 2 } - \frac{ 5 }{ 2 } x=1000$$

Lös ut x

$$x = \frac{\sqrt{40081} - 9}{10} \approx 19,120239759$$

$$x=\frac{-\sqrt{40081}-9}{10}\approx -20,920239759$$

Steg med lösningsformeln

Slå ihop 7x och -\frac{5}{2}x för att få \frac{9}{2}x.

$$\frac{9}{2}x+\frac{5}{2}x^{2}=1000$$

Subtrahera 1000 från båda led.

$$\frac{9}{2}x+\frac{5}{2}x^{2}-1000=0$$

Alla ekvationer på formen ax^{2}+bx+c=0 kan lösas med hjälp av lösningsformeln: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Lösningsformeln ger två lösningar, en när ± är addition och en när det är subtraktion.

$$\frac{5}{2}x^{2}+\frac{9}{2}x-1000=0$$

Den här ekvationen är skriven i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersätt a med \frac{5}{2}, b med \frac{9}{2} och c med -1000 i andragradsekvationen \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\frac{9}{2}±\sqrt{\left(\frac{9}{2}\right)^{2}-4\times \frac{5}{2}\left(-1000\right)}}{2\times \frac{5}{2}}$$

Kvadrera \frac{9}{2} genom att kvadrera både täljaren och nämnaren i bråktalet.

$$x=\frac{-\frac{9}{2}±\sqrt{\frac{81}{4}-4\times \frac{5}{2}\left(-1000\right)}}{2\times \frac{5}{2}}$$

Multiplicera -4 med \frac{5}{2}.

$$x=\frac{-\frac{9}{2}±\sqrt{\frac{81}{4}-10\left(-1000\right)}}{2\times \frac{5}{2}}$$

Multiplicera -10 med -1000.

$$x=\frac{-\frac{9}{2}±\sqrt{\frac{81}{4}+10000}}{2\times \frac{5}{2}}$$

Addera \frac{81}{4} till 10000.

$$x=\frac{-\frac{9}{2}±\sqrt{\frac{40081}{4}}}{2\times \frac{5}{2}}$$

Dra kvadratroten ur \frac{40081}{4}.

$$x=\frac{-\frac{9}{2}±\frac{\sqrt{40081}}{2}}{2\times \frac{5}{2}}$$

Multiplicera 2 med \frac{5}{2}.

$$x=\frac{-\frac{9}{2}±\frac{\sqrt{40081}}{2}}{5}$$

Lös nu ekvationen x=\frac{-\frac{9}{2}±\frac{\sqrt{40081}}{2}}{5} när ± är plus. Addera -\frac{9}{2} till \frac{\sqrt{40081}}{2}.

$$x=\frac{\sqrt{40081}-9}{2\times 5}$$

Dela \frac{-9+\sqrt{40081}}{2} med 5.

$$x=\frac{\sqrt{40081}-9}{10}$$

Lös nu ekvationen x=\frac{-\frac{9}{2}±\frac{\sqrt{40081}}{2}}{5} när ± är minus. Subtrahera \frac{\sqrt{40081}}{2} från -\frac{9}{2}.

$$x=\frac{-\sqrt{40081}-9}{2\times 5}$$

Dela \frac{-9-\sqrt{40081}}{2} med 5.

$$x=\frac{-\sqrt{40081}-9}{10}$$

Ekvationen har lösts.

$$x=\frac{\sqrt{40081}-9}{10} x=\frac{-\sqrt{40081}-9}{10}$$

Steg för kvadratkomplettering

Slå ihop 7x och -\frac{5}{2}x för att få \frac{9}{2}x.

$$\frac{9}{2}x+\frac{5}{2}x^{2}=1000$$

Andragradsekvationer som den här kan lösas med hjälp av kvadratkomplettering. För kvadratkomplettering måste ekvationen först skrivas om på formen x^{2}+bx=c.

$$\frac{5}{2}x^{2}+\frac{9}{2}x=1000$$

Dela båda ekvationsled med \frac{5}{2}, vilket är detsamma som att multiplicera båda led med bråktalets reciprok.

$$\frac{\frac{5}{2}x^{2}+\frac{9}{2}x}{\frac{5}{2}}=\frac{1000}{\frac{5}{2}}$$

Division med \frac{5}{2} tar ut multiplikationen med \frac{5}{2}.

$$x^{2}+\frac{\frac{9}{2}}{\frac{5}{2}}x=\frac{1000}{\frac{5}{2}}$$

Dela \frac{9}{2} med \frac{5}{2} genom att multiplicera \frac{9}{2} med reciproken till \frac{5}{2}.

$$x^{2}+\frac{9}{5}x=\frac{1000}{\frac{5}{2}}$$

Dela 1000 med \frac{5}{2} genom att multiplicera 1000 med reciproken till \frac{5}{2}.

$$x^{2}+\frac{9}{5}x=400$$

Dividera \frac{9}{5}, koefficienten för termen x, med 2 för att få \frac{9}{10}. Addera sedan kvadraten av \frac{9}{10} till båda ekvationsleden. Det här steget gör ekvationens vänstra sida till en jämn kvadrat.

$$x^{2}+\frac{9}{5}x+\left(\frac{9}{10}\right)^{2}=400+\left(\frac{9}{10}\right)^{2}$$

Kvadrera \frac{9}{10} genom att kvadrera både täljaren och nämnaren i bråktalet.

$$x^{2}+\frac{9}{5}x+\frac{81}{100}=400+\frac{81}{100}$$

Addera 400 till \frac{81}{100}.

$$x^{2}+\frac{9}{5}x+\frac{81}{100}=\frac{40081}{100}$$

Faktorisera x^{2}+\frac{9}{5}x+\frac{81}{100}. I allmänhet kan den alltid faktoriseras som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} när x^{2}+bx+c är en perfekt kvadrat.

$$\left(x+\frac{9}{10}\right)^{2}=\frac{40081}{100}$$

Dra kvadratroten ur båda ekvationsled.

$$\sqrt{\left(x+\frac{9}{10}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{40081}{100}}$$

Förenkla.

$$x+\frac{9}{10}=\frac{\sqrt{40081}}{10} x+\frac{9}{10}=-\frac{\sqrt{40081}}{10}$$

Subtrahera \frac{9}{10} från båda ekvationsled.

$$x=\frac{\sqrt{40081}-9}{10} x=\frac{-\sqrt{40081}-9}{10}$$