Lös 77r^2+45r-18

$$77 r ^ { 2 } + 45 r - 18$$

Faktorisera

$$\left(11r-3\right)\left(7r+6\right)$$

Lösningssteg

Faktorisera uttrycket genom gruppering. Först måste uttrycket skrivas om som 77r^{2}+ar+br-18. Konfigurera ett system som ska lösas om du vill söka efter a och b.

$$a+b=45 ab=77\left(-18\right)=-1386$$

Eftersom ab är negativt a och b har motsatta tecken. Eftersom a+b är positivt har det positiva talet större absolut värde än det negativa. Lista alla sådana heltalspar som ger produkten -1386.

$$-1,1386 -2,693 -3,462 -6,231 -7,198 -9,154 -11,126 -14,99 -18,77 -21,66 -22,63 -33,42$$

Beräkna summan för varje par.

$$-1+1386=1385 -2+693=691 -3+462=459 -6+231=225 -7+198=191 -9+154=145 -11+126=115 -14+99=85 -18+77=59 -21+66=45 -22+63=41 -33+42=9$$

Lösningen är det par som ger Summa 45.

$$a=-21 b=66$$

Skriv om 77r^{2}+45r-18 som \left(77r^{2}-21r\right)+\left(66r-18\right).

$$\left(77r^{2}-21r\right)+\left(66r-18\right)$$

Utfaktor 7r i den första och den 6 i den andra gruppen.

$$7r\left(11r-3\right)+6\left(11r-3\right)$$

Bryt ut den gemensamma termen 11r-3 genom att använda distributivitet.

$$\left(11r-3\right)\left(7r+6\right)$$

Steg med lösningsformeln

Ett kvadratisk polynom kan faktoriseras med transformeringen ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), där x_{1} och x_{2} är lösningarna för andragradsekvationen ax^{2}+bx+c=0.

$$77r^{2}+45r-18=0$$

Alla ekvationer på formen ax^{2}+bx+c=0 kan lösas med hjälp av lösningsformeln: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Lösningsformeln ger två lösningar, en när ± är addition och en när det är subtraktion.

$$r=\frac{-45±\sqrt{45^{2}-4\times 77\left(-18\right)}}{2\times 77}$$

Kvadrera 45.

$$r=\frac{-45±\sqrt{2025-4\times 77\left(-18\right)}}{2\times 77}$$

Multiplicera -4 med 77.

$$r=\frac{-45±\sqrt{2025-308\left(-18\right)}}{2\times 77}$$

Multiplicera -308 med -18.

$$r=\frac{-45±\sqrt{2025+5544}}{2\times 77}$$

Addera 2025 till 5544.

$$r=\frac{-45±\sqrt{7569}}{2\times 77}$$

Dra kvadratroten ur 7569.

$$r=\frac{-45±87}{2\times 77}$$

Multiplicera 2 med 77.

$$r=\frac{-45±87}{154}$$

Lös nu ekvationen r=\frac{-45±87}{154} när ± är plus. Addera -45 till 87.

$$r=\frac{42}{154}$$

Minska bråktalet \frac{42}{154} till de lägsta termerna genom att extrahera och eliminera 14.

$$r=\frac{3}{11}$$

Lös nu ekvationen r=\frac{-45±87}{154} när ± är minus. Subtrahera 87 från -45.

$$r=-\frac{132}{154}$$

Minska bråktalet \frac{-132}{154} till de lägsta termerna genom att extrahera och eliminera 22.

$$r=-\frac{6}{7}$$

Faktorisera det ursprungliga uttrycket med ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right). Ersätt x_{1} med \frac{3}{11} och x_{2} med -\frac{6}{7}.

$$77r^{2}+45r-18=77\left(r-\frac{3}{11}\right)\left(r-\left(-\frac{6}{7}\right)\right)$$

Förenkla alla uttryck på formen p-\left(-q\right) till p+q.

$$77r^{2}+45r-18=77\left(r-\frac{3}{11}\right)\left(r+\frac{6}{7}\right)$$

Subtrahera \frac{3}{11} från r genom att hitta en gemensam nämnare och sedan subtrahera täljarna. Förkorta sedan bråktalet till lägsta term om det går.

$$77r^{2}+45r-18=77\times \frac{11r-3}{11}\left(r+\frac{6}{7}\right)$$

Addera \frac{6}{7} till r genom att hitta en gemensam nämnare och sedan addera täljarna. Förkorta sedan bråktalet till lägsta term om det går.

$$77r^{2}+45r-18=77\times \frac{11r-3}{11}\times \frac{7r+6}{7}$$

Multiplicera \frac{11r-3}{11} med \frac{7r+6}{7} genom att multiplicera täljare med täljare och nämnare med nämnare. Förkorta sedan bråktalet till lägsta term om det går.

$$77r^{2}+45r-18=77\times \frac{\left(11r-3\right)\left(7r+6\right)}{11\times 7}$$

Multiplicera 11 med 7.

$$77r^{2}+45r-18=77\times \frac{\left(11r-3\right)\left(7r+6\right)}{77}$$

Tar ut den största gemensamma faktorn 77 i 77 och 77.

$$77r^{2}+45r-18=\left(11r-3\right)\left(7r+6\right)$$

Beräkna

$$\left(11r-3\right)\left(7r+6\right)$$