Lös 75x^2+35x-10=0

$$75 x ^ { 2 } + 35 x - 10 = 0$$

Lös ut x

$$x=-\frac{2}{3}\approx -0,666666667$$

$$x=\frac{1}{5}=0,2$$

Steg med faktorisering genom gruppering

Dividera båda led med 5.

$$15x^{2}+7x-2=0$$

För att lösa ekvationen kan du faktor den vänstra delen med hjälp av gruppering. Första, vänstra sidan måste skrivas om som 15x^{2}+ax+bx-2. Konfigurera ett system som ska lösas om du vill söka efter a och b.

$$a+b=7 ab=15\left(-2\right)=-30$$

Eftersom ab är negativt a och b har motsatta tecken. Eftersom a+b är positivt har det positiva talet större absolut värde än det negativa. Lista alla sådana heltalspar som ger produkten -30.

$$-1,30 -2,15 -3,10 -5,6$$

Beräkna summan för varje par.

$$-1+30=29 -2+15=13 -3+10=7 -5+6=1$$

Lösningen är det par som ger Summa 7.

$$a=-3 b=10$$

Skriv om 15x^{2}+7x-2 som \left(15x^{2}-3x\right)+\left(10x-2\right).

$$\left(15x^{2}-3x\right)+\left(10x-2\right)$$

Utfaktor 3x i den första och den 2 i den andra gruppen.

$$3x\left(5x-1\right)+2\left(5x-1\right)$$

Bryt ut den gemensamma termen 5x-1 genom att använda distributivitet.

$$\left(5x-1\right)\left(3x+2\right)$$

Lös 5x-1=0 och 3x+2=0 om du vill hitta ekvations lösningar.

$$x=\frac{1}{5} x=-\frac{2}{3}$$

Steg med lösningsformeln

Alla ekvationer på formen ax^{2}+bx+c=0 kan lösas med hjälp av lösningsformeln: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Lösningsformeln ger två lösningar, en när ± är addition och en när det är subtraktion.

$$75x^{2}+35x-10=0$$

Den här ekvationen är skriven i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersätt a med 75, b med 35 och c med -10 i andragradsekvationen \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-35±\sqrt{35^{2}-4\times 75\left(-10\right)}}{2\times 75}$$

Kvadrera 35.

$$x=\frac{-35±\sqrt{1225-4\times 75\left(-10\right)}}{2\times 75}$$

Multiplicera -4 med 75.

$$x=\frac{-35±\sqrt{1225-300\left(-10\right)}}{2\times 75}$$

Multiplicera -300 med -10.

$$x=\frac{-35±\sqrt{1225+3000}}{2\times 75}$$

Addera 1225 till 3000.

$$x=\frac{-35±\sqrt{4225}}{2\times 75}$$

Dra kvadratroten ur 4225.

$$x=\frac{-35±65}{2\times 75}$$

Multiplicera 2 med 75.

$$x=\frac{-35±65}{150}$$

Lös nu ekvationen x=\frac{-35±65}{150} när ± är plus. Addera -35 till 65.

$$x=\frac{30}{150}$$

Minska bråktalet \frac{30}{150} till de lägsta termerna genom att extrahera och eliminera 30.

$$x=\frac{1}{5}$$

Lös nu ekvationen x=\frac{-35±65}{150} när ± är minus. Subtrahera 65 från -35.

$$x=-\frac{100}{150}$$

Minska bråktalet \frac{-100}{150} till de lägsta termerna genom att extrahera och eliminera 50.

$$x=-\frac{2}{3}$$

Ekvationen har lösts.

$$x=\frac{1}{5} x=-\frac{2}{3}$$

Steg för kvadratkomplettering

Andragradsekvationer som den här kan lösas med hjälp av kvadratkomplettering. För kvadratkomplettering måste ekvationen först skrivas om på formen x^{2}+bx=c.

$$75x^{2}+35x-10=0$$

Addera 10 till båda ekvationsled.

$$75x^{2}+35x-10-\left(-10\right)=-\left(-10\right)$$

Subtraktion av -10 från sig självt ger 0 som resultat.

$$75x^{2}+35x=-\left(-10\right)$$

Subtrahera -10 från 0.

$$75x^{2}+35x=10$$

Dividera båda led med 75.

$$\frac{75x^{2}+35x}{75}=\frac{10}{75}$$

Division med 75 tar ut multiplikationen med 75.

$$x^{2}+\frac{35}{75}x=\frac{10}{75}$$

Minska bråktalet \frac{35}{75} till de lägsta termerna genom att extrahera och eliminera 5.

$$x^{2}+\frac{7}{15}x=\frac{10}{75}$$

Minska bråktalet \frac{10}{75} till de lägsta termerna genom att extrahera och eliminera 5.

$$x^{2}+\frac{7}{15}x=\frac{2}{15}$$

Dividera \frac{7}{15}, koefficienten för termen x, med 2 för att få \frac{7}{30}. Addera sedan kvadraten av \frac{7}{30} till båda ekvationsleden. Det här steget gör ekvationens vänstra sida till en jämn kvadrat.

$$x^{2}+\frac{7}{15}x+\left(\frac{7}{30}\right)^{2}=\frac{2}{15}+\left(\frac{7}{30}\right)^{2}$$

Kvadrera \frac{7}{30} genom att kvadrera både täljaren och nämnaren i bråktalet.

$$x^{2}+\frac{7}{15}x+\frac{49}{900}=\frac{2}{15}+\frac{49}{900}$$

Addera \frac{2}{15} till \frac{49}{900} genom att hitta en gemensam nämnare och sedan addera täljarna. Förkorta sedan bråktalet till lägsta term om det går.

$$x^{2}+\frac{7}{15}x+\frac{49}{900}=\frac{169}{900}$$

Faktorisera x^{2}+\frac{7}{15}x+\frac{49}{900}. I allmänhet kan den alltid faktoriseras som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} när x^{2}+bx+c är en perfekt kvadrat.

$$\left(x+\frac{7}{30}\right)^{2}=\frac{169}{900}$$

Dra kvadratroten ur båda ekvationsled.

$$\sqrt{\left(x+\frac{7}{30}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{169}{900}}$$

Förenkla.

$$x+\frac{7}{30}=\frac{13}{30} x+\frac{7}{30}=-\frac{13}{30}$$

Subtrahera \frac{7}{30} från båda ekvationsled.

$$x=\frac{1}{5} x=-\frac{2}{3}$$