Lös 75=4x-1/2x^2

$$75 = 4 x - \frac { 1 } { 2 } x ^ { 2 }$$

Lös ut x (complex solution)

$$x=4+\sqrt{134}i\approx 4+11,575836903i$$

$$x=-\sqrt{134}i+4\approx 4-11,575836903i$$

Steg med lösningsformeln

Byt plats på leden så att alla variabeltermer är till vänster.

$$4x-\frac{1}{2}x^{2}=75$$

Subtrahera 75 från båda led.

$$4x-\frac{1}{2}x^{2}-75=0$$

Alla ekvationer på formen ax^{2}+bx+c=0 kan lösas med hjälp av lösningsformeln: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Lösningsformeln ger två lösningar, en när ± är addition och en när det är subtraktion.

$$-\frac{1}{2}x^{2}+4x-75=0$$

Den här ekvationen är skriven i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersätt a med -\frac{1}{2}, b med 4 och c med -75 i andragradsekvationen \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-4±\sqrt{4^{2}-4\left(-\frac{1}{2}\right)\left(-75\right)}}{2\left(-\frac{1}{2}\right)}$$

Kvadrera 4.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16-4\left(-\frac{1}{2}\right)\left(-75\right)}}{2\left(-\frac{1}{2}\right)}$$

Multiplicera -4 med -\frac{1}{2}.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16+2\left(-75\right)}}{2\left(-\frac{1}{2}\right)}$$

Multiplicera 2 med -75.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16-150}}{2\left(-\frac{1}{2}\right)}$$

Addera 16 till -150.

$$x=\frac{-4±\sqrt{-134}}{2\left(-\frac{1}{2}\right)}$$

Dra kvadratroten ur -134.

$$x=\frac{-4±\sqrt{134}i}{2\left(-\frac{1}{2}\right)}$$

Multiplicera 2 med -\frac{1}{2}.

$$x=\frac{-4±\sqrt{134}i}{-1}$$

Lös nu ekvationen x=\frac{-4±\sqrt{134}i}{-1} när ± är plus. Addera -4 till i\sqrt{134}.

$$x=\frac{-4+\sqrt{134}i}{-1}$$

Dela -4+i\sqrt{134} med -1.

$$x=-\sqrt{134}i+4$$

Lös nu ekvationen x=\frac{-4±\sqrt{134}i}{-1} när ± är minus. Subtrahera i\sqrt{134} från -4.

$$x=\frac{-\sqrt{134}i-4}{-1}$$

Dela -4-i\sqrt{134} med -1.

$$x=4+\sqrt{134}i$$

Ekvationen har lösts.

$$x=-\sqrt{134}i+4 x=4+\sqrt{134}i$$

Steg för kvadratkomplettering

Byt plats på leden så att alla variabeltermer är till vänster.

$$4x-\frac{1}{2}x^{2}=75$$

Andragradsekvationer som den här kan lösas med hjälp av kvadratkomplettering. För kvadratkomplettering måste ekvationen först skrivas om på formen x^{2}+bx=c.

$$-\frac{1}{2}x^{2}+4x=75$$

Multiplicera båda led med -2.

$$\frac{-\frac{1}{2}x^{2}+4x}{-\frac{1}{2}}=\frac{75}{-\frac{1}{2}}$$

Division med -\frac{1}{2} tar ut multiplikationen med -\frac{1}{2}.

$$x^{2}+\frac{4}{-\frac{1}{2}}x=\frac{75}{-\frac{1}{2}}$$

Dela 4 med -\frac{1}{2} genom att multiplicera 4 med reciproken till -\frac{1}{2}.

$$x^{2}-8x=\frac{75}{-\frac{1}{2}}$$

Dela 75 med -\frac{1}{2} genom att multiplicera 75 med reciproken till -\frac{1}{2}.

$$x^{2}-8x=-150$$

Dividera -8, koefficienten för termen x, med 2 för att få -4. Addera sedan kvadraten av -4 till båda ekvationsleden. Det här steget gör ekvationens vänstra sida till en jämn kvadrat.

$$x^{2}-8x+\left(-4\right)^{2}=-150+\left(-4\right)^{2}$$

Kvadrera -4.

$$x^{2}-8x+16=-150+16$$

Addera -150 till 16.

$$x^{2}-8x+16=-134$$

Faktorisera x^{2}-8x+16. I allmänhet kan den alltid faktoriseras som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} när x^{2}+bx+c är en perfekt kvadrat.

$$\left(x-4\right)^{2}=-134$$

Dra kvadratroten ur båda ekvationsled.

$$\sqrt{\left(x-4\right)^{2}}=\sqrt{-134}$$

Förenkla.

$$x-4=\sqrt{134}i x-4=-\sqrt{134}i$$

Addera 4 till båda ekvationsled.

$$x=4+\sqrt{134}i x=-\sqrt{134}i+4$$