Lös 7x-15y-2=0text{ztal}x+2y=3

$$7 x - 15 y - 2 = 0 \text { ztal } x + 2 y = 3$$

Lös ut x, y

$$x = \frac{49}{29} = 1\frac{20}{29} \approx 1,689655172$$

$$y=\frac{19}{29}\approx 0,655172414$$

Steg med substitution

Du löser ett par ekvationer med först lösa en av ekvationerna med avseende på en av variablerna. Ersätt sedan den variabeln med resultatet i den andra ekvationen.

$$7x-15y-2=0,x+2y=3$$

Välj en av ekvationerna och lös den för x genom att isolera x till vänster om likhets tecknet.

$$7x-15y-2=0$$

Addera 2 till båda ekvationsled.

$$7x-15y=2$$

Addera 15y till båda ekvationsled.

$$7x=15y+2$$

Dividera båda led med 7.

$$x=\frac{1}{7}\left(15y+2\right)$$

Multiplicera \frac{1}{7} med 15y+2.

$$x=\frac{15}{7}y+\frac{2}{7}$$

Ersätt x med \frac{15y+2}{7} i den andra ekvationen, x+2y=3.

$$\frac{15}{7}y+\frac{2}{7}+2y=3$$

Addera \frac{15y}{7} till 2y.

$$\frac{29}{7}y+\frac{2}{7}=3$$

Subtrahera \frac{2}{7} från båda ekvationsled.

$$\frac{29}{7}y=\frac{19}{7}$$

Dela båda ekvationsled med \frac{29}{7}, vilket är detsamma som att multiplicera båda led med bråktalets reciprok.

$$y=\frac{19}{29}$$

Ersätt y med \frac{19}{29} i x=\frac{15}{7}y+\frac{2}{7}. Eftersom den resulterande ekvationen bara innehåller en variabel kan du lösa ut x direkt.

$$x=\frac{15}{7}\times \frac{19}{29}+\frac{2}{7}$$

Multiplicera \frac{15}{7} med \frac{19}{29} genom att multiplicera täljare med täljare och nämnare med nämnare. Förkorta sedan bråktalet till lägsta term om det går.

$$x=\frac{285}{203}+\frac{2}{7}$$

Addera \frac{2}{7} till \frac{285}{203} genom att hitta en gemensam nämnare och sedan addera täljarna. Förkorta sedan bråktalet till lägsta term om det går.

$$x=\frac{49}{29}$$

Systemet har lösts.

$$x=\frac{49}{29},y=\frac{19}{29}$$

Steg med matriser

Skriv om ekvationerna på standardform och använda sedan matriser för att lösa ekvationssystemet.

$$7x-15y-2=0,x+2y=3$$

Skriv ekvationerna på matrisform.

$$\left(\begin{matrix}7&-15\\1&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\3\end{matrix}\right)$$

Vänstermultiplicera ekvationen med inversen av en matris \left(\begin{matrix}7&-15\\1&2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}7&-15\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7&-15\\1&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&-15\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\3\end{matrix}\right)$$

Produkten av en matris och dess invers är enhetsmatrisen.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&-15\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\3\end{matrix}\right)$$

Multiplicera matriserna till vänster om likhetstecknet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&-15\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\3\end{matrix}\right)$$

För 2\times 2-matrisen \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) är inversmatrisen \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) och matrisekvationen kan därför skrivas om som en matrismultiplikation.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{7\times 2-\left(-15\right)}&-\frac{-15}{7\times 2-\left(-15\right)}\\-\frac{1}{7\times 2-\left(-15\right)}&\frac{7}{7\times 2-\left(-15\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\3\end{matrix}\right)$$

Utför beräkningen.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{29}&\frac{15}{29}\\-\frac{1}{29}&\frac{7}{29}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\3\end{matrix}\right)$$

Multiplicera matriserna.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{29}\times 2+\frac{15}{29}\times 3\\-\frac{1}{29}\times 2+\frac{7}{29}\times 3\end{matrix}\right)$$

Utför beräkningen.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{49}{29}\\\frac{19}{29}\end{matrix}\right)$$

Bryt ut matriselementen x och y.

$$x=\frac{49}{29},y=\frac{19}{29}$$

Steg med eliminering

För lösning med hjälp av eliminering måste koefficienterna för en av variablerna vara desamma i båda ekvationer så att variabeln förkortas när den ena ekvationen subtraheras från den andra.

$$7x-15y-2=0,x+2y=3$$

Gör 7x och x lika genom att multiplicera alla termer i båda led i den första ekvationen med 1 och alla termer i båda led i den andra ekvationen med 7.

$$7x-15y-2=0,7x+7\times 2y=7\times 3$$

Förenkla.

$$7x-15y-2=0,7x+14y=21$$

Subtrahera 7x+14y=21 från 7x-15y-2=0 genom att subtrahera lika termer på varje sida om likhetstecknet.

$$7x-7x-15y-14y-2=-21$$

Addera 7x till -7x. Termerna 7x och -7x tar ut varandra och ger en ekvation med bara en variabel som kan lösas.

$$-15y-14y-2=-21$$

Addera -15y till -14y.

$$-29y-2=-21$$

Addera 2 till båda ekvationsled.

$$-29y=-19$$

Dividera båda led med -29.

$$y=\frac{19}{29}$$

Ersätt y med \frac{19}{29} i x+2y=3. Eftersom den resulterande ekvationen bara innehåller en variabel kan du lösa ut x direkt.

$$x+2\times \frac{19}{29}=3$$

Multiplicera 2 med \frac{19}{29}.

$$x+\frac{38}{29}=3$$

Subtrahera \frac{38}{29} från båda ekvationsled.

$$x=\frac{49}{29}$$

Systemet har lösts.

$$x=\frac{49}{29},y=\frac{19}{29}$$