Lös 7x^2-18x-9=0

$$7 x ^ { 2 } - 18 x - 9 = 0$$

Lös ut x

$$x=-\frac{3}{7}\approx -0,428571429$$

$$x=3$$

Steg med faktorisering genom gruppering

För att lösa ekvationen kan du faktor den vänstra delen med hjälp av gruppering. Första, vänstra sidan måste skrivas om som 7x^{2}+ax+bx-9. Konfigurera ett system som ska lösas om du vill söka efter a och b.

$$a+b=-18 ab=7\left(-9\right)=-63$$

Eftersom ab är negativt a och b har motsatta tecken. Eftersom a+b är negativt har det negativa talet större absolut värde än det positiva. Lista alla sådana heltalspar som ger produkten -63.

$$1,-63 3,-21 7,-9$$

Beräkna summan för varje par.

$$1-63=-62 3-21=-18 7-9=-2$$

Lösningen är det par som ger Summa -18.

$$a=-21 b=3$$

Skriv om 7x^{2}-18x-9 som \left(7x^{2}-21x\right)+\left(3x-9\right).

$$\left(7x^{2}-21x\right)+\left(3x-9\right)$$

Utfaktor 7x i den första och den 3 i den andra gruppen.

$$7x\left(x-3\right)+3\left(x-3\right)$$

Bryt ut den gemensamma termen x-3 genom att använda distributivitet.

$$\left(x-3\right)\left(7x+3\right)$$

Lös x-3=0 och 7x+3=0 om du vill hitta ekvations lösningar.

$$x=3 x=-\frac{3}{7}$$

Steg med lösningsformeln

Alla ekvationer på formen ax^{2}+bx+c=0 kan lösas med hjälp av lösningsformeln: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Lösningsformeln ger två lösningar, en när ± är addition och en när det är subtraktion.

$$7x^{2}-18x-9=0$$

Den här ekvationen är skriven i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersätt a med 7, b med -18 och c med -9 i andragradsekvationen \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-18\right)±\sqrt{\left(-18\right)^{2}-4\times 7\left(-9\right)}}{2\times 7}$$

Kvadrera -18.

$$x=\frac{-\left(-18\right)±\sqrt{324-4\times 7\left(-9\right)}}{2\times 7}$$

Multiplicera -4 med 7.

$$x=\frac{-\left(-18\right)±\sqrt{324-28\left(-9\right)}}{2\times 7}$$

Multiplicera -28 med -9.

$$x=\frac{-\left(-18\right)±\sqrt{324+252}}{2\times 7}$$

Addera 324 till 252.

$$x=\frac{-\left(-18\right)±\sqrt{576}}{2\times 7}$$

Dra kvadratroten ur 576.

$$x=\frac{-\left(-18\right)±24}{2\times 7}$$

Motsatsen till -18 är 18.

$$x=\frac{18±24}{2\times 7}$$

Multiplicera 2 med 7.

$$x=\frac{18±24}{14}$$

Lös nu ekvationen x=\frac{18±24}{14} när ± är plus. Addera 18 till 24.

$$x=\frac{42}{14}$$

Dela 42 med 14.

$$x=3$$

Lös nu ekvationen x=\frac{18±24}{14} när ± är minus. Subtrahera 24 från 18.

$$x=-\frac{6}{14}$$

Minska bråktalet \frac{-6}{14} till de lägsta termerna genom att extrahera och eliminera 2.

$$x=-\frac{3}{7}$$

Ekvationen har lösts.

$$x=3 x=-\frac{3}{7}$$

Steg för kvadratkomplettering

Andragradsekvationer som den här kan lösas med hjälp av kvadratkomplettering. För kvadratkomplettering måste ekvationen först skrivas om på formen x^{2}+bx=c.

$$7x^{2}-18x-9=0$$

Addera 9 till båda ekvationsled.

$$7x^{2}-18x-9-\left(-9\right)=-\left(-9\right)$$

Subtraktion av -9 från sig självt ger 0 som resultat.

$$7x^{2}-18x=-\left(-9\right)$$

Subtrahera -9 från 0.

$$7x^{2}-18x=9$$

Dividera båda led med 7.

$$\frac{7x^{2}-18x}{7}=\frac{9}{7}$$

Division med 7 tar ut multiplikationen med 7.

$$x^{2}-\frac{18}{7}x=\frac{9}{7}$$

Dividera -\frac{18}{7}, koefficienten för termen x, med 2 för att få -\frac{9}{7}. Addera sedan kvadraten av -\frac{9}{7} till båda ekvationsleden. Det här steget gör ekvationens vänstra sida till en jämn kvadrat.

$$x^{2}-\frac{18}{7}x+\left(-\frac{9}{7}\right)^{2}=\frac{9}{7}+\left(-\frac{9}{7}\right)^{2}$$

Kvadrera -\frac{9}{7} genom att kvadrera både täljaren och nämnaren i bråktalet.

$$x^{2}-\frac{18}{7}x+\frac{81}{49}=\frac{9}{7}+\frac{81}{49}$$

Addera \frac{9}{7} till \frac{81}{49} genom att hitta en gemensam nämnare och sedan addera täljarna. Förkorta sedan bråktalet till lägsta term om det går.

$$x^{2}-\frac{18}{7}x+\frac{81}{49}=\frac{144}{49}$$

Faktorisera x^{2}-\frac{18}{7}x+\frac{81}{49}. I allmänhet kan den alltid faktoriseras som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} när x^{2}+bx+c är en perfekt kvadrat.

$$\left(x-\frac{9}{7}\right)^{2}=\frac{144}{49}$$

Dra kvadratroten ur båda ekvationsled.

$$\sqrt{\left(x-\frac{9}{7}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{144}{49}}$$

Förenkla.

$$x-\frac{9}{7}=\frac{12}{7} x-\frac{9}{7}=-\frac{12}{7}$$

Addera \frac{9}{7} till båda ekvationsled.

$$x=3 x=-\frac{3}{7}$$