Lös 7x^2-13x-1=0

$$7 x ^ { 2 } - 13 x - 1 = 0$$

Lös ut x

$$x = \frac{\sqrt{197} + 13}{14} \approx 1,931119203$$

$$x=\frac{13-\sqrt{197}}{14}\approx -0,073976346$$

Steg med lösningsformeln

Alla ekvationer på formen ax^{2}+bx+c=0 kan lösas med hjälp av lösningsformeln: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Lösningsformeln ger två lösningar, en när ± är addition och en när det är subtraktion.

$$7x^{2}-13x-1=0$$

Den här ekvationen är skriven i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersätt a med 7, b med -13 och c med -1 i andragradsekvationen \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-13\right)±\sqrt{\left(-13\right)^{2}-4\times 7\left(-1\right)}}{2\times 7}$$

Kvadrera -13.

$$x=\frac{-\left(-13\right)±\sqrt{169-4\times 7\left(-1\right)}}{2\times 7}$$

Multiplicera -4 med 7.

$$x=\frac{-\left(-13\right)±\sqrt{169-28\left(-1\right)}}{2\times 7}$$

Multiplicera -28 med -1.

$$x=\frac{-\left(-13\right)±\sqrt{169+28}}{2\times 7}$$

Addera 169 till 28.

$$x=\frac{-\left(-13\right)±\sqrt{197}}{2\times 7}$$

Motsatsen till -13 är 13.

$$x=\frac{13±\sqrt{197}}{2\times 7}$$

Multiplicera 2 med 7.

$$x=\frac{13±\sqrt{197}}{14}$$

Lös nu ekvationen x=\frac{13±\sqrt{197}}{14} när ± är plus. Addera 13 till \sqrt{197}.

$$x=\frac{\sqrt{197}+13}{14}$$

Lös nu ekvationen x=\frac{13±\sqrt{197}}{14} när ± är minus. Subtrahera \sqrt{197} från 13.

$$x=\frac{13-\sqrt{197}}{14}$$

Ekvationen har lösts.

$$x=\frac{\sqrt{197}+13}{14} x=\frac{13-\sqrt{197}}{14}$$

Steg för kvadratkomplettering

Andragradsekvationer som den här kan lösas med hjälp av kvadratkomplettering. För kvadratkomplettering måste ekvationen först skrivas om på formen x^{2}+bx=c.

$$7x^{2}-13x-1=0$$

Addera 1 till båda ekvationsled.

$$7x^{2}-13x-1-\left(-1\right)=-\left(-1\right)$$

Subtraktion av -1 från sig självt ger 0 som resultat.

$$7x^{2}-13x=-\left(-1\right)$$

Subtrahera -1 från 0.

$$7x^{2}-13x=1$$

Dividera båda led med 7.

$$\frac{7x^{2}-13x}{7}=\frac{1}{7}$$

Division med 7 tar ut multiplikationen med 7.

$$x^{2}-\frac{13}{7}x=\frac{1}{7}$$

Dividera -\frac{13}{7}, koefficienten för termen x, med 2 för att få -\frac{13}{14}. Addera sedan kvadraten av -\frac{13}{14} till båda ekvationsleden. Det här steget gör ekvationens vänstra sida till en jämn kvadrat.

$$x^{2}-\frac{13}{7}x+\left(-\frac{13}{14}\right)^{2}=\frac{1}{7}+\left(-\frac{13}{14}\right)^{2}$$

Kvadrera -\frac{13}{14} genom att kvadrera både täljaren och nämnaren i bråktalet.

$$x^{2}-\frac{13}{7}x+\frac{169}{196}=\frac{1}{7}+\frac{169}{196}$$

Addera \frac{1}{7} till \frac{169}{196} genom att hitta en gemensam nämnare och sedan addera täljarna. Förkorta sedan bråktalet till lägsta term om det går.

$$x^{2}-\frac{13}{7}x+\frac{169}{196}=\frac{197}{196}$$

Faktorisera x^{2}-\frac{13}{7}x+\frac{169}{196}. I allmänhet kan den alltid faktoriseras som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} när x^{2}+bx+c är en perfekt kvadrat.

$$\left(x-\frac{13}{14}\right)^{2}=\frac{197}{196}$$

Dra kvadratroten ur båda ekvationsled.

$$\sqrt{\left(x-\frac{13}{14}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{197}{196}}$$

Förenkla.

$$x-\frac{13}{14}=\frac{\sqrt{197}}{14} x-\frac{13}{14}=-\frac{\sqrt{197}}{14}$$

Addera \frac{13}{14} till båda ekvationsled.

$$x=\frac{\sqrt{197}+13}{14} x=\frac{13-\sqrt{197}}{14}$$