Lös 7x^2+x+1=0

$$7 x ^ { 2 } + x + 1 = 0$$

Lös ut x (complex solution)

$$x=\frac{-1+3\sqrt{3}i}{14}\approx -0,071428571+0,371153744i$$

$$x=\frac{-3\sqrt{3}i-1}{14}\approx -0,071428571-0,371153744i$$

Steg med lösningsformeln

Alla ekvationer på formen ax^{2}+bx+c=0 kan lösas med hjälp av lösningsformeln: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Lösningsformeln ger två lösningar, en när ± är addition och en när det är subtraktion.

$$7x^{2}+x+1=0$$

Den här ekvationen är skriven i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersätt a med 7, b med 1 och c med 1 i andragradsekvationen \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1^{2}-4\times 7}}{2\times 7}$$

Kvadrera 1.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1-4\times 7}}{2\times 7}$$

Multiplicera -4 med 7.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1-28}}{2\times 7}$$

Addera 1 till -28.

$$x=\frac{-1±\sqrt{-27}}{2\times 7}$$

Dra kvadratroten ur -27.

$$x=\frac{-1±3\sqrt{3}i}{2\times 7}$$

Multiplicera 2 med 7.

$$x=\frac{-1±3\sqrt{3}i}{14}$$

Lös nu ekvationen x=\frac{-1±3\sqrt{3}i}{14} när ± är plus. Addera -1 till 3i\sqrt{3}.

$$x=\frac{-1+3\sqrt{3}i}{14}$$

Lös nu ekvationen x=\frac{-1±3\sqrt{3}i}{14} när ± är minus. Subtrahera 3i\sqrt{3} från -1.

$$x=\frac{-3\sqrt{3}i-1}{14}$$

Ekvationen har lösts.

$$x=\frac{-1+3\sqrt{3}i}{14} x=\frac{-3\sqrt{3}i-1}{14}$$

Steg för kvadratkomplettering

Andragradsekvationer som den här kan lösas med hjälp av kvadratkomplettering. För kvadratkomplettering måste ekvationen först skrivas om på formen x^{2}+bx=c.

$$7x^{2}+x+1=0$$

Subtrahera 1 från båda ekvationsled.

$$7x^{2}+x+1-1=-1$$

Subtraktion av 1 från sig självt ger 0 som resultat.

$$7x^{2}+x=-1$$

Dividera båda led med 7.

$$\frac{7x^{2}+x}{7}=-\frac{1}{7}$$

Division med 7 tar ut multiplikationen med 7.

$$x^{2}+\frac{1}{7}x=-\frac{1}{7}$$

Dividera \frac{1}{7}, koefficienten för termen x, med 2 för att få \frac{1}{14}. Addera sedan kvadraten av \frac{1}{14} till båda ekvationsleden. Det här steget gör ekvationens vänstra sida till en jämn kvadrat.

$$x^{2}+\frac{1}{7}x+\left(\frac{1}{14}\right)^{2}=-\frac{1}{7}+\left(\frac{1}{14}\right)^{2}$$

Kvadrera \frac{1}{14} genom att kvadrera både täljaren och nämnaren i bråktalet.

$$x^{2}+\frac{1}{7}x+\frac{1}{196}=-\frac{1}{7}+\frac{1}{196}$$

Addera -\frac{1}{7} till \frac{1}{196} genom att hitta en gemensam nämnare och sedan addera täljarna. Förkorta sedan bråktalet till lägsta term om det går.

$$x^{2}+\frac{1}{7}x+\frac{1}{196}=-\frac{27}{196}$$

Faktorisera x^{2}+\frac{1}{7}x+\frac{1}{196}. I allmänhet kan den alltid faktoriseras som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} när x^{2}+bx+c är en perfekt kvadrat.

$$\left(x+\frac{1}{14}\right)^{2}=-\frac{27}{196}$$

Dra kvadratroten ur båda ekvationsled.

$$\sqrt{\left(x+\frac{1}{14}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{27}{196}}$$

Förenkla.

$$x+\frac{1}{14}=\frac{3\sqrt{3}i}{14} x+\frac{1}{14}=-\frac{3\sqrt{3}i}{14}$$

Subtrahera \frac{1}{14} från båda ekvationsled.

$$x=\frac{-1+3\sqrt{3}i}{14} x=\frac{-3\sqrt{3}i-1}{14}$$