Lös 7x^2+4x+1=0

$$7 x ^ { 2 } + 4 x + 1 = 0$$

Lös ut x (complex solution)

$$x=\frac{-2+\sqrt{3}i}{7}\approx -0,285714286+0,24743583i$$

$$x=\frac{-\sqrt{3}i-2}{7}\approx -0,285714286-0,24743583i$$

Steg med lösningsformeln

Alla ekvationer på formen ax^{2}+bx+c=0 kan lösas med hjälp av lösningsformeln: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Lösningsformeln ger två lösningar, en när ± är addition och en när det är subtraktion.

$$7x^{2}+4x+1=0$$

Den här ekvationen är skriven i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersätt a med 7, b med 4 och c med 1 i andragradsekvationen \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-4±\sqrt{4^{2}-4\times 7}}{2\times 7}$$

Kvadrera 4.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16-4\times 7}}{2\times 7}$$

Multiplicera -4 med 7.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16-28}}{2\times 7}$$

Addera 16 till -28.

$$x=\frac{-4±\sqrt{-12}}{2\times 7}$$

Dra kvadratroten ur -12.

$$x=\frac{-4±2\sqrt{3}i}{2\times 7}$$

Multiplicera 2 med 7.

$$x=\frac{-4±2\sqrt{3}i}{14}$$

Lös nu ekvationen x=\frac{-4±2\sqrt{3}i}{14} när ± är plus. Addera -4 till 2i\sqrt{3}.

$$x=\frac{-4+2\sqrt{3}i}{14}$$

Dela -4+2i\sqrt{3} med 14.

$$x=\frac{-2+\sqrt{3}i}{7}$$

Lös nu ekvationen x=\frac{-4±2\sqrt{3}i}{14} när ± är minus. Subtrahera 2i\sqrt{3} från -4.

$$x=\frac{-2\sqrt{3}i-4}{14}$$

Dela -4-2i\sqrt{3} med 14.

$$x=\frac{-\sqrt{3}i-2}{7}$$

Ekvationen har lösts.

$$x=\frac{-2+\sqrt{3}i}{7} x=\frac{-\sqrt{3}i-2}{7}$$

Steg för kvadratkomplettering

Andragradsekvationer som den här kan lösas med hjälp av kvadratkomplettering. För kvadratkomplettering måste ekvationen först skrivas om på formen x^{2}+bx=c.

$$7x^{2}+4x+1=0$$

Subtrahera 1 från båda ekvationsled.

$$7x^{2}+4x+1-1=-1$$

Subtraktion av 1 från sig självt ger 0 som resultat.

$$7x^{2}+4x=-1$$

Dividera båda led med 7.

$$\frac{7x^{2}+4x}{7}=-\frac{1}{7}$$

Division med 7 tar ut multiplikationen med 7.

$$x^{2}+\frac{4}{7}x=-\frac{1}{7}$$

Dividera \frac{4}{7}, koefficienten för termen x, med 2 för att få \frac{2}{7}. Addera sedan kvadraten av \frac{2}{7} till båda ekvationsleden. Det här steget gör ekvationens vänstra sida till en jämn kvadrat.

$$x^{2}+\frac{4}{7}x+\left(\frac{2}{7}\right)^{2}=-\frac{1}{7}+\left(\frac{2}{7}\right)^{2}$$

Kvadrera \frac{2}{7} genom att kvadrera både täljaren och nämnaren i bråktalet.

$$x^{2}+\frac{4}{7}x+\frac{4}{49}=-\frac{1}{7}+\frac{4}{49}$$

Addera -\frac{1}{7} till \frac{4}{49} genom att hitta en gemensam nämnare och sedan addera täljarna. Förkorta sedan bråktalet till lägsta term om det går.

$$x^{2}+\frac{4}{7}x+\frac{4}{49}=-\frac{3}{49}$$

Faktorisera x^{2}+\frac{4}{7}x+\frac{4}{49}. I allmänhet gäller att om x^{2}+bx+c är en jämn kvadrat kan den alltid faktoriseras som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{2}{7}\right)^{2}=-\frac{3}{49}$$

Dra kvadratroten ur båda ekvationsled.

$$\sqrt{\left(x+\frac{2}{7}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{3}{49}}$$

Förenkla.

$$x+\frac{2}{7}=\frac{\sqrt{3}i}{7} x+\frac{2}{7}=-\frac{\sqrt{3}i}{7}$$

Subtrahera \frac{2}{7} från båda ekvationsled.

$$x=\frac{-2+\sqrt{3}i}{7} x=\frac{-\sqrt{3}i-2}{7}$$