Lös 69x^2-38x+5=0

$$69 { x }^{ 2 } -38x+5=0$$

Lös ut x

$$x=\frac{1}{3}\approx 0,333333333$$

$$x=\frac{5}{23}\approx 0,217391304$$

Steg med faktorisering genom gruppering

För att lösa ekvationen kan du faktor den vänstra delen med hjälp av gruppering. Första, vänstra sidan måste skrivas om som 69x^{2}+ax+bx+5. Konfigurera ett system som ska lösas om du vill söka efter a och b.

$$a+b=-38 ab=69\times 5=345$$

Eftersom ab är positivt a och b ha samma tecken. Eftersom a+b är negativt är a och b negativa. Lista alla sådana heltalspar som ger produkten 345.

$$-1,-345 -3,-115 -5,-69 -15,-23$$

Beräkna summan för varje par.

$$-1-345=-346 -3-115=-118 -5-69=-74 -15-23=-38$$

Lösningen är det par som ger Summa -38.

$$a=-23 b=-15$$

Skriv om 69x^{2}-38x+5 som \left(69x^{2}-23x\right)+\left(-15x+5\right).

$$\left(69x^{2}-23x\right)+\left(-15x+5\right)$$

Utfaktor 23x i den första och den -5 i den andra gruppen.

$$23x\left(3x-1\right)-5\left(3x-1\right)$$

Bryt ut den gemensamma termen 3x-1 genom att använda distributivitet.

$$\left(3x-1\right)\left(23x-5\right)$$

Lös 3x-1=0 och 23x-5=0 om du vill hitta ekvations lösningar.

$$x=\frac{1}{3} x=\frac{5}{23}$$

Steg med lösningsformeln

Alla ekvationer på formen ax^{2}+bx+c=0 kan lösas med hjälp av lösningsformeln: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Lösningsformeln ger två lösningar, en när ± är addition och en när det är subtraktion.

$$69x^{2}-38x+5=0$$

Den här ekvationen är skriven i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersätt a med 69, b med -38 och c med 5 i andragradsekvationen \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-38\right)±\sqrt{\left(-38\right)^{2}-4\times 69\times 5}}{2\times 69}$$

Kvadrera -38.

$$x=\frac{-\left(-38\right)±\sqrt{1444-4\times 69\times 5}}{2\times 69}$$

Multiplicera -4 med 69.

$$x=\frac{-\left(-38\right)±\sqrt{1444-276\times 5}}{2\times 69}$$

Multiplicera -276 med 5.

$$x=\frac{-\left(-38\right)±\sqrt{1444-1380}}{2\times 69}$$

Addera 1444 till -1380.

$$x=\frac{-\left(-38\right)±\sqrt{64}}{2\times 69}$$

Dra kvadratroten ur 64.

$$x=\frac{-\left(-38\right)±8}{2\times 69}$$

Motsatsen till -38 är 38.

$$x=\frac{38±8}{2\times 69}$$

Multiplicera 2 med 69.

$$x=\frac{38±8}{138}$$

Lös nu ekvationen x=\frac{38±8}{138} när ± är plus. Addera 38 till 8.

$$x=\frac{46}{138}$$

Minska bråktalet \frac{46}{138} till de lägsta termerna genom att extrahera och eliminera 46.

$$x=\frac{1}{3}$$

Lös nu ekvationen x=\frac{38±8}{138} när ± är minus. Subtrahera 8 från 38.

$$x=\frac{30}{138}$$

Minska bråktalet \frac{30}{138} till de lägsta termerna genom att extrahera och eliminera 6.

$$x=\frac{5}{23}$$

Ekvationen har lösts.

$$x=\frac{1}{3} x=\frac{5}{23}$$

Steg för kvadratkomplettering

Andragradsekvationer som den här kan lösas med hjälp av kvadratkomplettering. För kvadratkomplettering måste ekvationen först skrivas om på formen x^{2}+bx=c.

$$69x^{2}-38x+5=0$$

Subtrahera 5 från båda ekvationsled.

$$69x^{2}-38x+5-5=-5$$

Subtraktion av 5 från sig självt ger 0 som resultat.

$$69x^{2}-38x=-5$$

Dividera båda led med 69.

$$\frac{69x^{2}-38x}{69}=-\frac{5}{69}$$

Division med 69 tar ut multiplikationen med 69.

$$x^{2}-\frac{38}{69}x=-\frac{5}{69}$$

Dividera -\frac{38}{69}, koefficienten för termen x, med 2 för att få -\frac{19}{69}. Addera sedan kvadraten av -\frac{19}{69} till båda ekvationsleden. Det här steget gör ekvationens vänstra sida till en jämn kvadrat.

$$x^{2}-\frac{38}{69}x+\left(-\frac{19}{69}\right)^{2}=-\frac{5}{69}+\left(-\frac{19}{69}\right)^{2}$$

Kvadrera -\frac{19}{69} genom att kvadrera både täljaren och nämnaren i bråktalet.

$$x^{2}-\frac{38}{69}x+\frac{361}{4761}=-\frac{5}{69}+\frac{361}{4761}$$

Addera -\frac{5}{69} till \frac{361}{4761} genom att hitta en gemensam nämnare och sedan addera täljarna. Förkorta sedan bråktalet till lägsta term om det går.

$$x^{2}-\frac{38}{69}x+\frac{361}{4761}=\frac{16}{4761}$$

Faktorisera x^{2}-\frac{38}{69}x+\frac{361}{4761}. I allmänhet kan den alltid faktoriseras som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} när x^{2}+bx+c är en perfekt kvadrat.

$$\left(x-\frac{19}{69}\right)^{2}=\frac{16}{4761}$$

Dra kvadratroten ur båda ekvationsled.

$$\sqrt{\left(x-\frac{19}{69}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{16}{4761}}$$

Förenkla.

$$x-\frac{19}{69}=\frac{4}{69} x-\frac{19}{69}=-\frac{4}{69}$$

Addera \frac{19}{69} till båda ekvationsled.

$$x=\frac{1}{3} x=\frac{5}{23}$$