Lös 64a^2+48a-36>0

$$64 a ^ { 2 } + 48 a - 36 > 0$$

Lös ut a

$$a\in \left(-\infty,\frac{-3\sqrt{5}-3}{8}\right)\cup \left(\frac{3\sqrt{5}-3}{8},\infty\right)$$

Steg med lösningsformeln

Lös olikheten genom att faktorisera den vänstra sidan. Ett kvadratisk polynom kan faktoriseras med transformeringen ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), där x_{1} och x_{2} är lösningarna för andragradsekvationen ax^{2}+bx+c=0.

$$64a^{2}+48a-36=0$$

Alla ekvationer på formen ax^{2}+bx+c=0 kan lösas med hjälp av lösningsformeln: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ersätt 64 med a, 48 med b och -36 med c i lösningsformeln.

$$a=\frac{-48±\sqrt{48^{2}-4\times 64\left(-36\right)}}{2\times 64}$$

Gör beräkningarna.

$$a=\frac{-48±48\sqrt{5}}{128}$$

Lös ekvationen a=\frac{-48±48\sqrt{5}}{128} när ± är plus och när ± är minus.

$$a=\frac{3\sqrt{5}-3}{8} a=\frac{-3\sqrt{5}-3}{8}$$

Skriv om olikheten med hjälp av de erhållna lösningarna.

$$64\left(a-\frac{3\sqrt{5}-3}{8}\right)\left(a-\frac{-3\sqrt{5}-3}{8}\right)>0$$

För att produkten ska vara positiv, a-\frac{3\sqrt{5}-3}{8} och a-\frac{-3\sqrt{5}-3}{8} både negativa eller båda positiva. Tänk på när a-\frac{3\sqrt{5}-3}{8} och a-\frac{-3\sqrt{5}-3}{8} både är negativa.

$$a-\frac{3\sqrt{5}-3}{8}<0 a-\frac{-3\sqrt{5}-3}{8}<0$$

Lösningen som uppfyller båda olikheterna är a<\frac{-3\sqrt{5}-3}{8}.

$$a<\frac{-3\sqrt{5}-3}{8}$$

Överväg om a-\frac{3\sqrt{5}-3}{8} och a-\frac{-3\sqrt{5}-3}{8} båda är positiva.

$$a-\frac{-3\sqrt{5}-3}{8}>0 a-\frac{3\sqrt{5}-3}{8}>0$$

Lösningen som uppfyller båda olikheterna är a>\frac{3\sqrt{5}-3}{8}.

$$a>\frac{3\sqrt{5}-3}{8}$$

Den slutliga lösningen är unionen av de erhållna lösningarna.

$$a<\frac{-3\sqrt{5}-3}{8}\text{; }a>\frac{3\sqrt{5}-3}{8}$$