Lös 61n-3n^2=10620

$$61 n - 3 n ^ { 2 } = 10620$$

Lös ut n

$$n=\frac{-\sqrt{123719}i+61}{6}\approx 10,166666667-58,622852958i$$

$$n=\frac{61+\sqrt{123719}i}{6}\approx 10,166666667+58,622852958i$$

Steg med lösningsformeln

Alla ekvationer på formen ax^{2}+bx+c=0 kan lösas med hjälp av lösningsformeln: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Lösningsformeln ger två lösningar, en när ± är addition och en när det är subtraktion.

$$-3n^{2}+61n=10620$$

Subtrahera 10620 från båda ekvationsled.

$$-3n^{2}+61n-10620=10620-10620$$

Subtraktion av 10620 från sig självt ger 0 som resultat.

$$-3n^{2}+61n-10620=0$$

Den här ekvationen är skriven i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersätt a med -3, b med 61 och c med -10620 i andragradsekvationen \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$n=\frac{-61±\sqrt{61^{2}-4\left(-3\right)\left(-10620\right)}}{2\left(-3\right)}$$

Kvadrera 61.

$$n=\frac{-61±\sqrt{3721-4\left(-3\right)\left(-10620\right)}}{2\left(-3\right)}$$

Multiplicera -4 med -3.

$$n=\frac{-61±\sqrt{3721+12\left(-10620\right)}}{2\left(-3\right)}$$

Multiplicera 12 med -10620.

$$n=\frac{-61±\sqrt{3721-127440}}{2\left(-3\right)}$$

Addera 3721 till -127440.

$$n=\frac{-61±\sqrt{-123719}}{2\left(-3\right)}$$

Dra kvadratroten ur -123719.

$$n=\frac{-61±\sqrt{123719}i}{2\left(-3\right)}$$

Multiplicera 2 med -3.

$$n=\frac{-61±\sqrt{123719}i}{-6}$$

Lös nu ekvationen n=\frac{-61±\sqrt{123719}i}{-6} när ± är plus. Addera -61 till i\sqrt{123719}.

$$n=\frac{-61+\sqrt{123719}i}{-6}$$

Dela -61+i\sqrt{123719} med -6.

$$n=\frac{-\sqrt{123719}i+61}{6}$$

Lös nu ekvationen n=\frac{-61±\sqrt{123719}i}{-6} när ± är minus. Subtrahera i\sqrt{123719} från -61.

$$n=\frac{-\sqrt{123719}i-61}{-6}$$

Dela -61-i\sqrt{123719} med -6.

$$n=\frac{61+\sqrt{123719}i}{6}$$

Ekvationen har lösts.

$$n=\frac{-\sqrt{123719}i+61}{6} n=\frac{61+\sqrt{123719}i}{6}$$

Steg för kvadratkomplettering

Andragradsekvationer som den här kan lösas med hjälp av kvadratkomplettering. För kvadratkomplettering måste ekvationen först skrivas om på formen x^{2}+bx=c.

$$-3n^{2}+61n=10620$$

Dividera båda led med -3.

$$\frac{-3n^{2}+61n}{-3}=\frac{10620}{-3}$$

Division med -3 tar ut multiplikationen med -3.

$$n^{2}+\frac{61}{-3}n=\frac{10620}{-3}$$

Dela 61 med -3.

$$n^{2}-\frac{61}{3}n=\frac{10620}{-3}$$

Dela 10620 med -3.

$$n^{2}-\frac{61}{3}n=-3540$$

Dividera -\frac{61}{3}, koefficienten för termen x, med 2 för att få -\frac{61}{6}. Addera sedan kvadraten av -\frac{61}{6} till båda ekvationsleden. Det här steget gör ekvationens vänstra sida till en jämn kvadrat.

$$n^{2}-\frac{61}{3}n+\left(-\frac{61}{6}\right)^{2}=-3540+\left(-\frac{61}{6}\right)^{2}$$

Kvadrera -\frac{61}{6} genom att kvadrera både täljaren och nämnaren i bråktalet.

$$n^{2}-\frac{61}{3}n+\frac{3721}{36}=-3540+\frac{3721}{36}$$

Addera -3540 till \frac{3721}{36}.

$$n^{2}-\frac{61}{3}n+\frac{3721}{36}=-\frac{123719}{36}$$

Faktorisera n^{2}-\frac{61}{3}n+\frac{3721}{36}. I allmänhet kan den alltid faktoriseras som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} när x^{2}+bx+c är en perfekt kvadrat.

$$\left(n-\frac{61}{6}\right)^{2}=-\frac{123719}{36}$$

Dra kvadratroten ur båda ekvationsled.

$$\sqrt{\left(n-\frac{61}{6}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{123719}{36}}$$

Förenkla.

$$n-\frac{61}{6}=\frac{\sqrt{123719}i}{6} n-\frac{61}{6}=-\frac{\sqrt{123719}i}{6}$$

Addera \frac{61}{6} till båda ekvationsled.

$$n=\frac{61+\sqrt{123719}i}{6} n=\frac{-\sqrt{123719}i+61}{6}$$