Lös 6(1/x+1/x+5)=1

$$6( \frac{ 1 }{ x } + \frac{ 1 }{ x+5 } )=1$$

Lös ut x

$$x=-3$$

$$x=10$$

Steg med faktorisering genom gruppering

Dividera båda led med 6.

$$\frac{1}{x}+\frac{1}{x+5}=\frac{1}{6}$$

Variabeln x får inte vara lika med något av värdena -5,0 eftersom division med noll inte har definierats. Multiplicera båda sidorna av ekvationen med 6x\left(x+5\right), den minsta gemensamma multipeln för x,x+5,6.

$$6x+30+6x=x\left(x+5\right)$$

Slå ihop 6x och 6x för att få 12x.

$$12x+30=x\left(x+5\right)$$

Använd den distributiva egenskapen för att multiplicera x med x+5.

$$12x+30=x^{2}+5x$$

Subtrahera x^{2} från båda led.

$$12x+30-x^{2}=5x$$

Subtrahera 5x från båda led.

$$12x+30-x^{2}-5x=0$$

Slå ihop 12x och -5x för att få 7x.

$$7x+30-x^{2}=0$$

Skriv om polynomen på standardform. Ordna termerna från högsta till lägsta grad.

$$-x^{2}+7x+30=0$$

För att lösa ekvationen kan du faktor den vänstra delen med hjälp av gruppering. Första, vänstra sidan måste skrivas om som -x^{2}+ax+bx+30. Konfigurera ett system som ska lösas om du vill söka efter a och b.

$$a+b=7 ab=-30=-30$$

Eftersom ab är negativt a och b har motsatta tecken. Eftersom a+b är positivt har det positiva talet större absolut värde än det negativa. Lista alla sådana heltalspar som ger produkten -30.

$$-1,30 -2,15 -3,10 -5,6$$

Beräkna summan för varje par.

$$-1+30=29 -2+15=13 -3+10=7 -5+6=1$$

Lösningen är det par som ger Summa 7.

$$a=10 b=-3$$

Skriv om -x^{2}+7x+30 som \left(-x^{2}+10x\right)+\left(-3x+30\right).

$$\left(-x^{2}+10x\right)+\left(-3x+30\right)$$

Utfaktor -x i den första och den -3 i den andra gruppen.

$$-x\left(x-10\right)-3\left(x-10\right)$$

Bryt ut den gemensamma termen x-10 genom att använda distributivitet.

$$\left(x-10\right)\left(-x-3\right)$$

Lös x-10=0 och -x-3=0 om du vill hitta ekvations lösningar.

$$x=10 x=-3$$

Steg med lösningsformeln

Dividera båda led med 6.

$$\frac{1}{x}+\frac{1}{x+5}=\frac{1}{6}$$

Variabeln x får inte vara lika med något av värdena -5,0 eftersom division med noll inte har definierats. Multiplicera båda sidorna av ekvationen med 6x\left(x+5\right), den minsta gemensamma multipeln för x,x+5,6.

$$6x+30+6x=x\left(x+5\right)$$

Slå ihop 6x och 6x för att få 12x.

$$12x+30=x\left(x+5\right)$$

Använd den distributiva egenskapen för att multiplicera x med x+5.

$$12x+30=x^{2}+5x$$

Subtrahera x^{2} från båda led.

$$12x+30-x^{2}=5x$$

Subtrahera 5x från båda led.

$$12x+30-x^{2}-5x=0$$

Slå ihop 12x och -5x för att få 7x.

$$7x+30-x^{2}=0$$

Alla ekvationer på formen ax^{2}+bx+c=0 kan lösas med hjälp av lösningsformeln: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Lösningsformeln ger två lösningar, en när ± är addition och en när det är subtraktion.

$$-x^{2}+7x+30=0$$

Den här ekvationen är skriven i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersätt a med -1, b med 7 och c med 30 i andragradsekvationen \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-7±\sqrt{7^{2}-4\left(-1\right)\times 30}}{2\left(-1\right)}$$

Kvadrera 7.

$$x=\frac{-7±\sqrt{49-4\left(-1\right)\times 30}}{2\left(-1\right)}$$

Multiplicera -4 med -1.

$$x=\frac{-7±\sqrt{49+4\times 30}}{2\left(-1\right)}$$

Multiplicera 4 med 30.

$$x=\frac{-7±\sqrt{49+120}}{2\left(-1\right)}$$

Addera 49 till 120.

$$x=\frac{-7±\sqrt{169}}{2\left(-1\right)}$$

Dra kvadratroten ur 169.

$$x=\frac{-7±13}{2\left(-1\right)}$$

Multiplicera 2 med -1.

$$x=\frac{-7±13}{-2}$$

Lös nu ekvationen x=\frac{-7±13}{-2} när ± är plus. Addera -7 till 13.

$$x=\frac{6}{-2}$$

Dela 6 med -2.

$$x=-3$$

Lös nu ekvationen x=\frac{-7±13}{-2} när ± är minus. Subtrahera 13 från -7.

$$x=-\frac{20}{-2}$$

Dela -20 med -2.

$$x=10$$

Ekvationen har lösts.

$$x=-3 x=10$$

Steg för kvadratkomplettering

Dividera båda led med 6.

$$\frac{1}{x}+\frac{1}{x+5}=\frac{1}{6}$$

Variabeln x får inte vara lika med något av värdena -5,0 eftersom division med noll inte har definierats. Multiplicera båda sidorna av ekvationen med 6x\left(x+5\right), den minsta gemensamma multipeln för x,x+5,6.

$$6x+30+6x=x\left(x+5\right)$$

Slå ihop 6x och 6x för att få 12x.

$$12x+30=x\left(x+5\right)$$

Använd den distributiva egenskapen för att multiplicera x med x+5.

$$12x+30=x^{2}+5x$$

Subtrahera x^{2} från båda led.

$$12x+30-x^{2}=5x$$

Subtrahera 5x från båda led.

$$12x+30-x^{2}-5x=0$$

Slå ihop 12x och -5x för att få 7x.

$$7x+30-x^{2}=0$$

Subtrahera 30 från båda led. Allt subtraherat från noll blir sin negation.

$$7x-x^{2}=-30$$

Andragradsekvationer som den här kan lösas med hjälp av kvadratkomplettering. För kvadratkomplettering måste ekvationen först skrivas om på formen x^{2}+bx=c.

$$-x^{2}+7x=-30$$

Dividera båda led med -1.

$$\frac{-x^{2}+7x}{-1}=-\frac{30}{-1}$$

Division med -1 tar ut multiplikationen med -1.

$$x^{2}+\frac{7}{-1}x=-\frac{30}{-1}$$

Dela 7 med -1.

$$x^{2}-7x=-\frac{30}{-1}$$

Dela -30 med -1.

$$x^{2}-7x=30$$

Dividera -7, koefficienten för termen x, med 2 för att få -\frac{7}{2}. Addera sedan kvadraten av -\frac{7}{2} till båda ekvationsleden. Det här steget gör ekvationens vänstra sida till en jämn kvadrat.

$$x^{2}-7x+\left(-\frac{7}{2}\right)^{2}=30+\left(-\frac{7}{2}\right)^{2}$$

Kvadrera -\frac{7}{2} genom att kvadrera både täljaren och nämnaren i bråktalet.

$$x^{2}-7x+\frac{49}{4}=30+\frac{49}{4}$$

Addera 30 till \frac{49}{4}.

$$x^{2}-7x+\frac{49}{4}=\frac{169}{4}$$

Faktorisera x^{2}-7x+\frac{49}{4}. I allmänhet kan den alltid faktoriseras som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} när x^{2}+bx+c är en perfekt kvadrat.

$$\left(x-\frac{7}{2}\right)^{2}=\frac{169}{4}$$

Dra kvadratroten ur båda ekvationsled.

$$\sqrt{\left(x-\frac{7}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{169}{4}}$$

Förenkla.

$$x-\frac{7}{2}=\frac{13}{2} x-\frac{7}{2}=-\frac{13}{2}$$

Addera \frac{7}{2} till båda ekvationsled.

$$x=10 x=-3$$