Lös 6y^2-17y+5=0

$$6 y ^ { 2 } - 17 y + 5 = 0$$

Lös ut y

$$y=\frac{1}{3}\approx 0,333333333$$

$$y = \frac{5}{2} = 2\frac{1}{2} = 2,5$$

Steg med faktorisering genom gruppering

För att lösa ekvationen kan du faktor den vänstra delen med hjälp av gruppering. Första, vänstra sidan måste skrivas om som 6y^{2}+ay+by+5. Konfigurera ett system som ska lösas om du vill söka efter a och b.

$$a+b=-17 ab=6\times 5=30$$

Eftersom ab är positivt a och b ha samma tecken. Eftersom a+b är negativt är a och b negativa. Lista alla sådana heltalspar som ger produkten 30.

$$-1,-30 -2,-15 -3,-10 -5,-6$$

Beräkna summan för varje par.

$$-1-30=-31 -2-15=-17 -3-10=-13 -5-6=-11$$

Lösningen är det par som ger Summa -17.

$$a=-15 b=-2$$

Skriv om 6y^{2}-17y+5 som \left(6y^{2}-15y\right)+\left(-2y+5\right).

$$\left(6y^{2}-15y\right)+\left(-2y+5\right)$$

Utfaktor 3y i den första och den -1 i den andra gruppen.

$$3y\left(2y-5\right)-\left(2y-5\right)$$

Bryt ut den gemensamma termen 2y-5 genom att använda distributivitet.

$$\left(2y-5\right)\left(3y-1\right)$$

Lös 2y-5=0 och 3y-1=0 om du vill hitta ekvations lösningar.

$$y=\frac{5}{2} y=\frac{1}{3}$$

Steg med lösningsformeln

Alla ekvationer på formen ax^{2}+bx+c=0 kan lösas med hjälp av lösningsformeln: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Lösningsformeln ger två lösningar, en när ± är addition och en när det är subtraktion.

$$6y^{2}-17y+5=0$$

Den här ekvationen är skriven i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersätt a med 6, b med -17 och c med 5 i andragradsekvationen \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$y=\frac{-\left(-17\right)±\sqrt{\left(-17\right)^{2}-4\times 6\times 5}}{2\times 6}$$

Kvadrera -17.

$$y=\frac{-\left(-17\right)±\sqrt{289-4\times 6\times 5}}{2\times 6}$$

Multiplicera -4 med 6.

$$y=\frac{-\left(-17\right)±\sqrt{289-24\times 5}}{2\times 6}$$

Multiplicera -24 med 5.

$$y=\frac{-\left(-17\right)±\sqrt{289-120}}{2\times 6}$$

Addera 289 till -120.

$$y=\frac{-\left(-17\right)±\sqrt{169}}{2\times 6}$$

Dra kvadratroten ur 169.

$$y=\frac{-\left(-17\right)±13}{2\times 6}$$

Motsatsen till -17 är 17.

$$y=\frac{17±13}{2\times 6}$$

Multiplicera 2 med 6.

$$y=\frac{17±13}{12}$$

Lös nu ekvationen y=\frac{17±13}{12} när ± är plus. Addera 17 till 13.

$$y=\frac{30}{12}$$

Minska bråktalet \frac{30}{12} till de lägsta termerna genom att extrahera och eliminera 6.

$$y=\frac{5}{2}$$

Lös nu ekvationen y=\frac{17±13}{12} när ± är minus. Subtrahera 13 från 17.

$$y=\frac{4}{12}$$

Minska bråktalet \frac{4}{12} till de lägsta termerna genom att extrahera och eliminera 4.

$$y=\frac{1}{3}$$

Ekvationen har lösts.

$$y=\frac{5}{2} y=\frac{1}{3}$$

Steg för kvadratkomplettering

Andragradsekvationer som den här kan lösas med hjälp av kvadratkomplettering. För kvadratkomplettering måste ekvationen först skrivas om på formen x^{2}+bx=c.

$$6y^{2}-17y+5=0$$

Subtrahera 5 från båda ekvationsled.

$$6y^{2}-17y+5-5=-5$$

Subtraktion av 5 från sig självt ger 0 som resultat.

$$6y^{2}-17y=-5$$

Dividera båda led med 6.

$$\frac{6y^{2}-17y}{6}=-\frac{5}{6}$$

Division med 6 tar ut multiplikationen med 6.

$$y^{2}-\frac{17}{6}y=-\frac{5}{6}$$

Dividera -\frac{17}{6}, koefficienten för termen x, med 2 för att få -\frac{17}{12}. Addera sedan kvadraten av -\frac{17}{12} till båda ekvationsleden. Det här steget gör ekvationens vänstra sida till en jämn kvadrat.

$$y^{2}-\frac{17}{6}y+\left(-\frac{17}{12}\right)^{2}=-\frac{5}{6}+\left(-\frac{17}{12}\right)^{2}$$

Kvadrera -\frac{17}{12} genom att kvadrera både täljaren och nämnaren i bråktalet.

$$y^{2}-\frac{17}{6}y+\frac{289}{144}=-\frac{5}{6}+\frac{289}{144}$$

Addera -\frac{5}{6} till \frac{289}{144} genom att hitta en gemensam nämnare och sedan addera täljarna. Förkorta sedan bråktalet till lägsta term om det går.

$$y^{2}-\frac{17}{6}y+\frac{289}{144}=\frac{169}{144}$$

Faktorisera y^{2}-\frac{17}{6}y+\frac{289}{144}. I allmänhet kan den alltid faktoriseras som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} när x^{2}+bx+c är en perfekt kvadrat.

$$\left(y-\frac{17}{12}\right)^{2}=\frac{169}{144}$$

Dra kvadratroten ur båda ekvationsled.

$$\sqrt{\left(y-\frac{17}{12}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{169}{144}}$$

Förenkla.

$$y-\frac{17}{12}=\frac{13}{12} y-\frac{17}{12}=-\frac{13}{12}$$

Addera \frac{17}{12} till båda ekvationsled.

$$y=\frac{5}{2} y=\frac{1}{3}$$