Lös 6x^2-x=40

$$6 x ^ { 2 } - x = 40$$

Lös ut x

$$x = -\frac{5}{2} = -2\frac{1}{2} = -2,5$$

$$x = \frac{8}{3} = 2\frac{2}{3} \approx 2,666666667$$

Steg med faktorisering genom gruppering

Subtrahera 40 från båda led.

$$6x^{2}-x-40=0$$

För att lösa ekvationen kan du faktor den vänstra delen med hjälp av gruppering. Första, vänstra sidan måste skrivas om som 6x^{2}+ax+bx-40. Konfigurera ett system som ska lösas om du vill söka efter a och b.

$$a+b=-1 ab=6\left(-40\right)=-240$$

Eftersom ab är negativt a och b har motsatta tecken. Eftersom a+b är negativt har det negativa talet större absolut värde än det positiva. Lista alla sådana heltalspar som ger produkten -240.

$$1,-240 2,-120 3,-80 4,-60 5,-48 6,-40 8,-30 10,-24 12,-20 15,-16$$

Beräkna summan för varje par.

$$1-240=-239 2-120=-118 3-80=-77 4-60=-56 5-48=-43 6-40=-34 8-30=-22 10-24=-14 12-20=-8 15-16=-1$$

Lösningen är det par som ger Summa -1.

$$a=-16 b=15$$

Skriv om 6x^{2}-x-40 som \left(6x^{2}-16x\right)+\left(15x-40\right).

$$\left(6x^{2}-16x\right)+\left(15x-40\right)$$

Utfaktor 2x i den första och den 5 i den andra gruppen.

$$2x\left(3x-8\right)+5\left(3x-8\right)$$

Bryt ut den gemensamma termen 3x-8 genom att använda distributivitet.

$$\left(3x-8\right)\left(2x+5\right)$$

Lös 3x-8=0 och 2x+5=0 om du vill hitta ekvations lösningar.

$$x=\frac{8}{3} x=-\frac{5}{2}$$

Steg med lösningsformeln

Alla ekvationer på formen ax^{2}+bx+c=0 kan lösas med hjälp av lösningsformeln: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Lösningsformeln ger två lösningar, en när ± är addition och en när det är subtraktion.

$$6x^{2}-x=40$$

Subtrahera 40 från båda ekvationsled.

$$6x^{2}-x-40=40-40$$

Subtraktion av 40 från sig självt ger 0 som resultat.

$$6x^{2}-x-40=0$$

Den här ekvationen är skriven i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersätt a med 6, b med -1 och c med -40 i andragradsekvationen \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1-4\times 6\left(-40\right)}}{2\times 6}$$

Multiplicera -4 med 6.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1-24\left(-40\right)}}{2\times 6}$$

Multiplicera -24 med -40.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1+960}}{2\times 6}$$

Addera 1 till 960.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{961}}{2\times 6}$$

Dra kvadratroten ur 961.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±31}{2\times 6}$$

Motsatsen till -1 är 1.

$$x=\frac{1±31}{2\times 6}$$

Multiplicera 2 med 6.

$$x=\frac{1±31}{12}$$

Lös nu ekvationen x=\frac{1±31}{12} när ± är plus. Addera 1 till 31.

$$x=\frac{32}{12}$$

Minska bråktalet \frac{32}{12} till de lägsta termerna genom att extrahera och eliminera 4.

$$x=\frac{8}{3}$$

Lös nu ekvationen x=\frac{1±31}{12} när ± är minus. Subtrahera 31 från 1.

$$x=-\frac{30}{12}$$

Minska bråktalet \frac{-30}{12} till de lägsta termerna genom att extrahera och eliminera 6.

$$x=-\frac{5}{2}$$

Ekvationen har lösts.

$$x=\frac{8}{3} x=-\frac{5}{2}$$

Steg för kvadratkomplettering

Andragradsekvationer som den här kan lösas med hjälp av kvadratkomplettering. För kvadratkomplettering måste ekvationen först skrivas om på formen x^{2}+bx=c.

$$6x^{2}-x=40$$

Dividera båda led med 6.

$$\frac{6x^{2}-x}{6}=\frac{40}{6}$$

Division med 6 tar ut multiplikationen med 6.

$$x^{2}-\frac{1}{6}x=\frac{40}{6}$$

Minska bråktalet \frac{40}{6} till de lägsta termerna genom att extrahera och eliminera 2.

$$x^{2}-\frac{1}{6}x=\frac{20}{3}$$

Dividera -\frac{1}{6}, koefficienten för termen x, med 2 för att få -\frac{1}{12}. Addera sedan kvadraten av -\frac{1}{12} till båda ekvationsleden. Det här steget gör ekvationens vänstra sida till en jämn kvadrat.

$$x^{2}-\frac{1}{6}x+\left(-\frac{1}{12}\right)^{2}=\frac{20}{3}+\left(-\frac{1}{12}\right)^{2}$$

Kvadrera -\frac{1}{12} genom att kvadrera både täljaren och nämnaren i bråktalet.

$$x^{2}-\frac{1}{6}x+\frac{1}{144}=\frac{20}{3}+\frac{1}{144}$$

Addera \frac{20}{3} till \frac{1}{144} genom att hitta en gemensam nämnare och sedan addera täljarna. Förkorta sedan bråktalet till lägsta term om det går.

$$x^{2}-\frac{1}{6}x+\frac{1}{144}=\frac{961}{144}$$

Faktorisera x^{2}-\frac{1}{6}x+\frac{1}{144}. I allmänhet kan den alltid faktoriseras som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} när x^{2}+bx+c är en perfekt kvadrat.

$$\left(x-\frac{1}{12}\right)^{2}=\frac{961}{144}$$

Dra kvadratroten ur båda ekvationsled.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{12}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{961}{144}}$$

Förenkla.

$$x-\frac{1}{12}=\frac{31}{12} x-\frac{1}{12}=-\frac{31}{12}$$

Addera \frac{1}{12} till båda ekvationsled.

$$x=\frac{8}{3} x=-\frac{5}{2}$$