Lös 6x^2-x=15

$$6 x ^ { 2 } - x = 15$$

Lös ut x

$$x = -\frac{3}{2} = -1\frac{1}{2} = -1,5$$

$$x = \frac{5}{3} = 1\frac{2}{3} \approx 1,666666667$$

Steg med faktorisering genom gruppering

Subtrahera 15 från båda led.

$$6x^{2}-x-15=0$$

För att lösa ekvationen kan du faktor den vänstra delen med hjälp av gruppering. Första, vänstra sidan måste skrivas om som 6x^{2}+ax+bx-15. Konfigurera ett system som ska lösas om du vill söka efter a och b.

$$a+b=-1 ab=6\left(-15\right)=-90$$

Eftersom ab är negativt a och b har motsatta tecken. Eftersom a+b är negativt har det negativa talet större absolut värde än det positiva. Lista alla sådana heltalspar som ger produkten -90.

$$1,-90 2,-45 3,-30 5,-18 6,-15 9,-10$$

Beräkna summan för varje par.

$$1-90=-89 2-45=-43 3-30=-27 5-18=-13 6-15=-9 9-10=-1$$

Lösningen är det par som ger Summa -1.

$$a=-10 b=9$$

Skriv om 6x^{2}-x-15 som \left(6x^{2}-10x\right)+\left(9x-15\right).

$$\left(6x^{2}-10x\right)+\left(9x-15\right)$$

Utfaktor 2x i den första och den 3 i den andra gruppen.

$$2x\left(3x-5\right)+3\left(3x-5\right)$$

Bryt ut den gemensamma termen 3x-5 genom att använda distributivitet.

$$\left(3x-5\right)\left(2x+3\right)$$

Lös 3x-5=0 och 2x+3=0 om du vill hitta ekvations lösningar.

$$x=\frac{5}{3} x=-\frac{3}{2}$$

Steg med lösningsformeln

Alla ekvationer på formen ax^{2}+bx+c=0 kan lösas med hjälp av lösningsformeln: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Lösningsformeln ger två lösningar, en när ± är addition och en när det är subtraktion.

$$6x^{2}-x=15$$

Subtrahera 15 från båda ekvationsled.

$$6x^{2}-x-15=15-15$$

Subtraktion av 15 från sig självt ger 0 som resultat.

$$6x^{2}-x-15=0$$

Den här ekvationen är skriven i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersätt a med 6, b med -1 och c med -15 i andragradsekvationen \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1-4\times 6\left(-15\right)}}{2\times 6}$$

Multiplicera -4 med 6.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1-24\left(-15\right)}}{2\times 6}$$

Multiplicera -24 med -15.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1+360}}{2\times 6}$$

Addera 1 till 360.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{361}}{2\times 6}$$

Dra kvadratroten ur 361.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±19}{2\times 6}$$

Motsatsen till -1 är 1.

$$x=\frac{1±19}{2\times 6}$$

Multiplicera 2 med 6.

$$x=\frac{1±19}{12}$$

Lös nu ekvationen x=\frac{1±19}{12} när ± är plus. Addera 1 till 19.

$$x=\frac{20}{12}$$

Minska bråktalet \frac{20}{12} till de lägsta termerna genom att extrahera och eliminera 4.

$$x=\frac{5}{3}$$

Lös nu ekvationen x=\frac{1±19}{12} när ± är minus. Subtrahera 19 från 1.

$$x=-\frac{18}{12}$$

Minska bråktalet \frac{-18}{12} till de lägsta termerna genom att extrahera och eliminera 6.

$$x=-\frac{3}{2}$$

Ekvationen har lösts.

$$x=\frac{5}{3} x=-\frac{3}{2}$$

Steg för kvadratkomplettering

Andragradsekvationer som den här kan lösas med hjälp av kvadratkomplettering. För kvadratkomplettering måste ekvationen först skrivas om på formen x^{2}+bx=c.

$$6x^{2}-x=15$$

Dividera båda led med 6.

$$\frac{6x^{2}-x}{6}=\frac{15}{6}$$

Division med 6 tar ut multiplikationen med 6.

$$x^{2}-\frac{1}{6}x=\frac{15}{6}$$

Minska bråktalet \frac{15}{6} till de lägsta termerna genom att extrahera och eliminera 3.

$$x^{2}-\frac{1}{6}x=\frac{5}{2}$$

Dividera -\frac{1}{6}, koefficienten för termen x, med 2 för att få -\frac{1}{12}. Addera sedan kvadraten av -\frac{1}{12} till båda ekvationsleden. Det här steget gör ekvationens vänstra sida till en jämn kvadrat.

$$x^{2}-\frac{1}{6}x+\left(-\frac{1}{12}\right)^{2}=\frac{5}{2}+\left(-\frac{1}{12}\right)^{2}$$

Kvadrera -\frac{1}{12} genom att kvadrera både täljaren och nämnaren i bråktalet.

$$x^{2}-\frac{1}{6}x+\frac{1}{144}=\frac{5}{2}+\frac{1}{144}$$

Addera \frac{5}{2} till \frac{1}{144} genom att hitta en gemensam nämnare och sedan addera täljarna. Förkorta sedan bråktalet till lägsta term om det går.

$$x^{2}-\frac{1}{6}x+\frac{1}{144}=\frac{361}{144}$$

Faktorisera x^{2}-\frac{1}{6}x+\frac{1}{144}. I allmänhet kan den alltid faktoriseras som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} när x^{2}+bx+c är en perfekt kvadrat.

$$\left(x-\frac{1}{12}\right)^{2}=\frac{361}{144}$$

Dra kvadratroten ur båda ekvationsled.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{12}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{361}{144}}$$

Förenkla.

$$x-\frac{1}{12}=\frac{19}{12} x-\frac{1}{12}=-\frac{19}{12}$$

Addera \frac{1}{12} till båda ekvationsled.

$$x=\frac{5}{3} x=-\frac{3}{2}$$