Lös 6x^2-6x+1=0

$$6 x ^ { 2 } - 6 x + 1 = 0$$

Lös ut x

$$x=\frac{\sqrt{3}}{6}+\frac{1}{2}\approx 0,788675135$$

$$x=-\frac{\sqrt{3}}{6}+\frac{1}{2}\approx 0,211324865$$

Steg med lösningsformeln

Alla ekvationer på formen ax^{2}+bx+c=0 kan lösas med hjälp av lösningsformeln: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Lösningsformeln ger två lösningar, en när ± är addition och en när det är subtraktion.

$$6x^{2}-6x+1=0$$

Den här ekvationen är skriven i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersätt a med 6, b med -6 och c med 1 i andragradsekvationen \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-6\right)±\sqrt{\left(-6\right)^{2}-4\times 6}}{2\times 6}$$

Kvadrera -6.

$$x=\frac{-\left(-6\right)±\sqrt{36-4\times 6}}{2\times 6}$$

Multiplicera -4 med 6.

$$x=\frac{-\left(-6\right)±\sqrt{36-24}}{2\times 6}$$

Addera 36 till -24.

$$x=\frac{-\left(-6\right)±\sqrt{12}}{2\times 6}$$

Dra kvadratroten ur 12.

$$x=\frac{-\left(-6\right)±2\sqrt{3}}{2\times 6}$$

Motsatsen till -6 är 6.

$$x=\frac{6±2\sqrt{3}}{2\times 6}$$

Multiplicera 2 med 6.

$$x=\frac{6±2\sqrt{3}}{12}$$

Lös nu ekvationen x=\frac{6±2\sqrt{3}}{12} när ± är plus. Addera 6 till 2\sqrt{3}.

$$x=\frac{2\sqrt{3}+6}{12}$$

Dela 6+2\sqrt{3} med 12.

$$x=\frac{\sqrt{3}}{6}+\frac{1}{2}$$

Lös nu ekvationen x=\frac{6±2\sqrt{3}}{12} när ± är minus. Subtrahera 2\sqrt{3} från 6.

$$x=\frac{6-2\sqrt{3}}{12}$$

Dela 6-2\sqrt{3} med 12.

$$x=-\frac{\sqrt{3}}{6}+\frac{1}{2}$$

Ekvationen har lösts.

$$x=\frac{\sqrt{3}}{6}+\frac{1}{2} x=-\frac{\sqrt{3}}{6}+\frac{1}{2}$$

Steg för kvadratkomplettering

Andragradsekvationer som den här kan lösas med hjälp av kvadratkomplettering. För kvadratkomplettering måste ekvationen först skrivas om på formen x^{2}+bx=c.

$$6x^{2}-6x+1=0$$

Subtrahera 1 från båda ekvationsled.

$$6x^{2}-6x+1-1=-1$$

Subtraktion av 1 från sig självt ger 0 som resultat.

$$6x^{2}-6x=-1$$

Dividera båda led med 6.

$$\frac{6x^{2}-6x}{6}=-\frac{1}{6}$$

Division med 6 tar ut multiplikationen med 6.

$$x^{2}+\left(-\frac{6}{6}\right)x=-\frac{1}{6}$$

Dela -6 med 6.

$$x^{2}-x=-\frac{1}{6}$$

Dividera -1, koefficienten för termen x, med 2 för att få -\frac{1}{2}. Addera sedan kvadraten av -\frac{1}{2} till båda ekvationsleden. Det här steget gör ekvationens vänstra sida till en jämn kvadrat.

$$x^{2}-x+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}=-\frac{1}{6}+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}$$

Kvadrera -\frac{1}{2} genom att kvadrera både täljaren och nämnaren i bråktalet.

$$x^{2}-x+\frac{1}{4}=-\frac{1}{6}+\frac{1}{4}$$

Addera -\frac{1}{6} till \frac{1}{4} genom att hitta en gemensam nämnare och sedan addera täljarna. Förkorta sedan bråktalet till lägsta term om det går.

$$x^{2}-x+\frac{1}{4}=\frac{1}{12}$$

Faktorisera x^{2}-x+\frac{1}{4}. I allmänhet kan den alltid faktoriseras som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} när x^{2}+bx+c är en perfekt kvadrat.

$$\left(x-\frac{1}{2}\right)^{2}=\frac{1}{12}$$

Dra kvadratroten ur båda ekvationsled.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1}{12}}$$

Förenkla.

$$x-\frac{1}{2}=\frac{\sqrt{3}}{6} x-\frac{1}{2}=-\frac{\sqrt{3}}{6}$$

Addera \frac{1}{2} till båda ekvationsled.

$$x=\frac{\sqrt{3}}{6}+\frac{1}{2} x=-\frac{\sqrt{3}}{6}+\frac{1}{2}$$