Lös 6x^2-14x-9=0

$$6 x ^ { 2 } - 14 x - 9 = 0$$

Lös ut x

$$x = \frac{\sqrt{103} + 7}{6} \approx 2,858148594$$

$$x=\frac{7-\sqrt{103}}{6}\approx -0,524815261$$

Steg med lösningsformeln

Alla ekvationer på formen ax^{2}+bx+c=0 kan lösas med hjälp av lösningsformeln: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Lösningsformeln ger två lösningar, en när ± är addition och en när det är subtraktion.

$$6x^{2}-14x-9=0$$

Den här ekvationen är skriven i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersätt a med 6, b med -14 och c med -9 i andragradsekvationen \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{\left(-14\right)^{2}-4\times 6\left(-9\right)}}{2\times 6}$$

Kvadrera -14.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{196-4\times 6\left(-9\right)}}{2\times 6}$$

Multiplicera -4 med 6.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{196-24\left(-9\right)}}{2\times 6}$$

Multiplicera -24 med -9.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{196+216}}{2\times 6}$$

Addera 196 till 216.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{412}}{2\times 6}$$

Dra kvadratroten ur 412.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±2\sqrt{103}}{2\times 6}$$

Motsatsen till -14 är 14.

$$x=\frac{14±2\sqrt{103}}{2\times 6}$$

Multiplicera 2 med 6.

$$x=\frac{14±2\sqrt{103}}{12}$$

Lös nu ekvationen x=\frac{14±2\sqrt{103}}{12} när ± är plus. Addera 14 till 2\sqrt{103}.

$$x=\frac{2\sqrt{103}+14}{12}$$

Dela 14+2\sqrt{103} med 12.

$$x=\frac{\sqrt{103}+7}{6}$$

Lös nu ekvationen x=\frac{14±2\sqrt{103}}{12} när ± är minus. Subtrahera 2\sqrt{103} från 14.

$$x=\frac{14-2\sqrt{103}}{12}$$

Dela 14-2\sqrt{103} med 12.

$$x=\frac{7-\sqrt{103}}{6}$$

Ekvationen har lösts.

$$x=\frac{\sqrt{103}+7}{6} x=\frac{7-\sqrt{103}}{6}$$

Steg för kvadratkomplettering

Andragradsekvationer som den här kan lösas med hjälp av kvadratkomplettering. För kvadratkomplettering måste ekvationen först skrivas om på formen x^{2}+bx=c.

$$6x^{2}-14x-9=0$$

Addera 9 till båda ekvationsled.

$$6x^{2}-14x-9-\left(-9\right)=-\left(-9\right)$$

Subtraktion av -9 från sig självt ger 0 som resultat.

$$6x^{2}-14x=-\left(-9\right)$$

Subtrahera -9 från 0.

$$6x^{2}-14x=9$$

Dividera båda led med 6.

$$\frac{6x^{2}-14x}{6}=\frac{9}{6}$$

Division med 6 tar ut multiplikationen med 6.

$$x^{2}+\left(-\frac{14}{6}\right)x=\frac{9}{6}$$

Minska bråktalet \frac{-14}{6} till de lägsta termerna genom att extrahera och eliminera 2.

$$x^{2}-\frac{7}{3}x=\frac{9}{6}$$

Minska bråktalet \frac{9}{6} till de lägsta termerna genom att extrahera och eliminera 3.

$$x^{2}-\frac{7}{3}x=\frac{3}{2}$$

Dividera -\frac{7}{3}, koefficienten för termen x, med 2 för att få -\frac{7}{6}. Addera sedan kvadraten av -\frac{7}{6} till båda ekvationsleden. Det här steget gör ekvationens vänstra sida till en jämn kvadrat.

$$x^{2}-\frac{7}{3}x+\left(-\frac{7}{6}\right)^{2}=\frac{3}{2}+\left(-\frac{7}{6}\right)^{2}$$

Kvadrera -\frac{7}{6} genom att kvadrera både täljaren och nämnaren i bråktalet.

$$x^{2}-\frac{7}{3}x+\frac{49}{36}=\frac{3}{2}+\frac{49}{36}$$

Addera \frac{3}{2} till \frac{49}{36} genom att hitta en gemensam nämnare och sedan addera täljarna. Förkorta sedan bråktalet till lägsta term om det går.

$$x^{2}-\frac{7}{3}x+\frac{49}{36}=\frac{103}{36}$$

Faktorisera x^{2}-\frac{7}{3}x+\frac{49}{36}. I allmänhet kan den alltid faktoriseras som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} när x^{2}+bx+c är en perfekt kvadrat.

$$\left(x-\frac{7}{6}\right)^{2}=\frac{103}{36}$$

Dra kvadratroten ur båda ekvationsled.

$$\sqrt{\left(x-\frac{7}{6}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{103}{36}}$$

Förenkla.

$$x-\frac{7}{6}=\frac{\sqrt{103}}{6} x-\frac{7}{6}=-\frac{\sqrt{103}}{6}$$

Addera \frac{7}{6} till båda ekvationsled.

$$x=\frac{\sqrt{103}+7}{6} x=\frac{7-\sqrt{103}}{6}$$