Lös 6x^2-12x+3geq0

$$6 x ^ { 2 } - 12 x + 3 \geq 0$$

Lös ut x

$$x\in (-\infty,-\frac{\sqrt{2}}{2}+1]\cup [\frac{\sqrt{2}}{2}+1,\infty)$$

Steg med lösningsformeln

Lös olikheten genom att faktorisera den vänstra sidan. Ett kvadratisk polynom kan faktoriseras med transformeringen ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), där x_{1} och x_{2} är lösningarna för andragradsekvationen ax^{2}+bx+c=0.

$$6x^{2}-12x+3=0$$

Alla ekvationer på formen ax^{2}+bx+c=0 kan lösas med hjälp av lösningsformeln: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ersätt 6 med a, -12 med b och 3 med c i lösningsformeln.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{\left(-12\right)^{2}-4\times 6\times 3}}{2\times 6}$$

Gör beräkningarna.

$$x=\frac{12±6\sqrt{2}}{12}$$

Lös ekvationen x=\frac{12±6\sqrt{2}}{12} när ± är plus och när ± är minus.

$$x=\frac{\sqrt{2}}{2}+1 x=-\frac{\sqrt{2}}{2}+1$$

Skriv om olikheten med hjälp av de erhållna lösningarna.

$$6\left(x-\left(\frac{\sqrt{2}}{2}+1\right)\right)\left(x-\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}+1\right)\right)\geq 0$$

För att produkten ska kunna ≥0 måste x-\left(\frac{\sqrt{2}}{2}+1\right) och x-\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}+1\right) ha både ≤0 eller båda ≥0. Behandla ärendet när x-\left(\frac{\sqrt{2}}{2}+1\right) och x-\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}+1\right) är ≤0.

$$x-\left(\frac{\sqrt{2}}{2}+1\right)\leq 0 x-\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}+1\right)\leq 0$$

Lösningen som uppfyller båda olikheterna är x\leq -\frac{\sqrt{2}}{2}+1.

$$x\leq -\frac{\sqrt{2}}{2}+1$$

Tänk på när x-\left(\frac{\sqrt{2}}{2}+1\right) och x-\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}+1\right) är ≥0.

$$x-\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}+1\right)\geq 0 x-\left(\frac{\sqrt{2}}{2}+1\right)\geq 0$$

Lösningen som uppfyller båda olikheterna är x\geq \frac{\sqrt{2}}{2}+1.

$$x\geq \frac{\sqrt{2}}{2}+1$$

Den slutliga lösningen är unionen av de erhållna lösningarna.

$$x\leq -\frac{\sqrt{2}}{2}+1\text{; }x\geq \frac{\sqrt{2}}{2}+1$$