Lös 6x^2-5x-1=0

$$6 { x }^{ 2 } -5x-1=0$$

Lös ut x

$$x=-\frac{1}{6}\approx -0,166666667$$

$$x=1$$

Steg med faktorisering genom gruppering

För att lösa ekvationen kan du faktor den vänstra delen med hjälp av gruppering. Första, vänstra sidan måste skrivas om som 6x^{2}+ax+bx-1. Konfigurera ett system som ska lösas om du vill söka efter a och b.

$$a+b=-5 ab=6\left(-1\right)=-6$$

Eftersom ab är negativt a och b har motsatta tecken. Eftersom a+b är negativt har det negativa talet större absolut värde än det positiva. Lista alla sådana heltalspar som ger produkten -6.

$$1,-6 2,-3$$

Beräkna summan för varje par.

$$1-6=-5 2-3=-1$$

Lösningen är det par som ger Summa -5.

$$a=-6 b=1$$

Skriv om 6x^{2}-5x-1 som \left(6x^{2}-6x\right)+\left(x-1\right).

$$\left(6x^{2}-6x\right)+\left(x-1\right)$$

Bryt ut 6x i 6x^{2}-6x.

$$6x\left(x-1\right)+x-1$$

Bryt ut den gemensamma termen x-1 genom att använda distributivitet.

$$\left(x-1\right)\left(6x+1\right)$$

Lös x-1=0 och 6x+1=0 om du vill hitta ekvations lösningar.

$$x=1 x=-\frac{1}{6}$$

Steg med lösningsformeln

Alla ekvationer på formen ax^{2}+bx+c=0 kan lösas med hjälp av lösningsformeln: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Lösningsformeln ger två lösningar, en när ± är addition och en när det är subtraktion.

$$6x^{2}-5x-1=0$$

Den här ekvationen är skriven i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersätt a med 6, b med -5 och c med -1 i andragradsekvationen \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{\left(-5\right)^{2}-4\times 6\left(-1\right)}}{2\times 6}$$

Kvadrera -5.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25-4\times 6\left(-1\right)}}{2\times 6}$$

Multiplicera -4 med 6.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25-24\left(-1\right)}}{2\times 6}$$

Multiplicera -24 med -1.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25+24}}{2\times 6}$$

Addera 25 till 24.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{49}}{2\times 6}$$

Dra kvadratroten ur 49.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±7}{2\times 6}$$

Motsatsen till -5 är 5.

$$x=\frac{5±7}{2\times 6}$$

Multiplicera 2 med 6.

$$x=\frac{5±7}{12}$$

Lös nu ekvationen x=\frac{5±7}{12} när ± är plus. Addera 5 till 7.

$$x=\frac{12}{12}$$

Dela 12 med 12.

$$x=1$$

Lös nu ekvationen x=\frac{5±7}{12} när ± är minus. Subtrahera 7 från 5.

$$x=-\frac{2}{12}$$

Minska bråktalet \frac{-2}{12} till de lägsta termerna genom att extrahera och eliminera 2.

$$x=-\frac{1}{6}$$

Ekvationen har lösts.

$$x=1 x=-\frac{1}{6}$$

Steg för kvadratkomplettering

Andragradsekvationer som den här kan lösas med hjälp av kvadratkomplettering. För kvadratkomplettering måste ekvationen först skrivas om på formen x^{2}+bx=c.

$$6x^{2}-5x-1=0$$

Addera 1 till båda ekvationsled.

$$6x^{2}-5x-1-\left(-1\right)=-\left(-1\right)$$

Subtraktion av -1 från sig självt ger 0 som resultat.

$$6x^{2}-5x=-\left(-1\right)$$

Subtrahera -1 från 0.

$$6x^{2}-5x=1$$

Dividera båda led med 6.

$$\frac{6x^{2}-5x}{6}=\frac{1}{6}$$

Division med 6 tar ut multiplikationen med 6.

$$x^{2}-\frac{5}{6}x=\frac{1}{6}$$

Dividera -\frac{5}{6}, koefficienten för termen x, med 2 för att få -\frac{5}{12}. Addera sedan kvadraten av -\frac{5}{12} till båda ekvationsleden. Det här steget gör ekvationens vänstra sida till en jämn kvadrat.

$$x^{2}-\frac{5}{6}x+\left(-\frac{5}{12}\right)^{2}=\frac{1}{6}+\left(-\frac{5}{12}\right)^{2}$$

Kvadrera -\frac{5}{12} genom att kvadrera både täljaren och nämnaren i bråktalet.

$$x^{2}-\frac{5}{6}x+\frac{25}{144}=\frac{1}{6}+\frac{25}{144}$$

Addera \frac{1}{6} till \frac{25}{144} genom att hitta en gemensam nämnare och sedan addera täljarna. Förkorta sedan bråktalet till lägsta term om det går.

$$x^{2}-\frac{5}{6}x+\frac{25}{144}=\frac{49}{144}$$

Faktorisera x^{2}-\frac{5}{6}x+\frac{25}{144}. I allmänhet kan den alltid faktoriseras som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} när x^{2}+bx+c är en perfekt kvadrat.

$$\left(x-\frac{5}{12}\right)^{2}=\frac{49}{144}$$

Dra kvadratroten ur båda ekvationsled.

$$\sqrt{\left(x-\frac{5}{12}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{49}{144}}$$

Förenkla.

$$x-\frac{5}{12}=\frac{7}{12} x-\frac{5}{12}=-\frac{7}{12}$$

Addera \frac{5}{12} till båda ekvationsled.

$$x=1 x=-\frac{1}{6}$$