Lös 6x^2-5x+1=0

$$6 { x }^{ 2 } -5x+1=0$$

Lös ut x

$$x=\frac{1}{3}\approx 0,333333333$$

$$x=\frac{1}{2}=0,5$$

Steg med faktorisering genom gruppering

För att lösa ekvationen kan du faktor den vänstra delen med hjälp av gruppering. Första, vänstra sidan måste skrivas om som 6x^{2}+ax+bx+1. Konfigurera ett system som ska lösas om du vill söka efter a och b.

$$a+b=-5 ab=6\times 1=6$$

Eftersom ab är positivt a och b ha samma tecken. Eftersom a+b är negativt är a och b negativa. Lista alla sådana heltalspar som ger produkten 6.

$$-1,-6 -2,-3$$

Beräkna summan för varje par.

$$-1-6=-7 -2-3=-5$$

Lösningen är det par som ger Summa -5.

$$a=-3 b=-2$$

Skriv om 6x^{2}-5x+1 som \left(6x^{2}-3x\right)+\left(-2x+1\right).

$$\left(6x^{2}-3x\right)+\left(-2x+1\right)$$

Utfaktor 3x i den första och den -1 i den andra gruppen.

$$3x\left(2x-1\right)-\left(2x-1\right)$$

Bryt ut den gemensamma termen 2x-1 genom att använda distributivitet.

$$\left(2x-1\right)\left(3x-1\right)$$

Lös 2x-1=0 och 3x-1=0 om du vill hitta ekvations lösningar.

$$x=\frac{1}{2} x=\frac{1}{3}$$

Steg med lösningsformeln

Alla ekvationer på formen ax^{2}+bx+c=0 kan lösas med hjälp av lösningsformeln: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Lösningsformeln ger två lösningar, en när ± är addition och en när det är subtraktion.

$$6x^{2}-5x+1=0$$

Den här ekvationen är skriven i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersätt a med 6, b med -5 och c med 1 i andragradsekvationen \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{\left(-5\right)^{2}-4\times 6}}{2\times 6}$$

Kvadrera -5.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25-4\times 6}}{2\times 6}$$

Multiplicera -4 med 6.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25-24}}{2\times 6}$$

Addera 25 till -24.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{1}}{2\times 6}$$

Dra kvadratroten ur 1.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±1}{2\times 6}$$

Motsatsen till -5 är 5.

$$x=\frac{5±1}{2\times 6}$$

Multiplicera 2 med 6.

$$x=\frac{5±1}{12}$$

Lös nu ekvationen x=\frac{5±1}{12} när ± är plus. Addera 5 till 1.

$$x=\frac{6}{12}$$

Minska bråktalet \frac{6}{12} till de lägsta termerna genom att extrahera och eliminera 6.

$$x=\frac{1}{2}$$

Lös nu ekvationen x=\frac{5±1}{12} när ± är minus. Subtrahera 1 från 5.

$$x=\frac{4}{12}$$

Minska bråktalet \frac{4}{12} till de lägsta termerna genom att extrahera och eliminera 4.

$$x=\frac{1}{3}$$

Ekvationen har lösts.

$$x=\frac{1}{2} x=\frac{1}{3}$$

Steg för kvadratkomplettering

Andragradsekvationer som den här kan lösas med hjälp av kvadratkomplettering. För kvadratkomplettering måste ekvationen först skrivas om på formen x^{2}+bx=c.

$$6x^{2}-5x+1=0$$

Subtrahera 1 från båda ekvationsled.

$$6x^{2}-5x+1-1=-1$$

Subtraktion av 1 från sig självt ger 0 som resultat.

$$6x^{2}-5x=-1$$

Dividera båda led med 6.

$$\frac{6x^{2}-5x}{6}=-\frac{1}{6}$$

Division med 6 tar ut multiplikationen med 6.

$$x^{2}-\frac{5}{6}x=-\frac{1}{6}$$

Dividera -\frac{5}{6}, koefficienten för termen x, med 2 för att få -\frac{5}{12}. Addera sedan kvadraten av -\frac{5}{12} till båda ekvationsleden. Det här steget gör ekvationens vänstra sida till en jämn kvadrat.

$$x^{2}-\frac{5}{6}x+\left(-\frac{5}{12}\right)^{2}=-\frac{1}{6}+\left(-\frac{5}{12}\right)^{2}$$

Kvadrera -\frac{5}{12} genom att kvadrera både täljaren och nämnaren i bråktalet.

$$x^{2}-\frac{5}{6}x+\frac{25}{144}=-\frac{1}{6}+\frac{25}{144}$$

Addera -\frac{1}{6} till \frac{25}{144} genom att hitta en gemensam nämnare och sedan addera täljarna. Förkorta sedan bråktalet till lägsta term om det går.

$$x^{2}-\frac{5}{6}x+\frac{25}{144}=\frac{1}{144}$$

Faktorisera x^{2}-\frac{5}{6}x+\frac{25}{144}. I allmänhet kan den alltid faktoriseras som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} när x^{2}+bx+c är en perfekt kvadrat.

$$\left(x-\frac{5}{12}\right)^{2}=\frac{1}{144}$$

Dra kvadratroten ur båda ekvationsled.

$$\sqrt{\left(x-\frac{5}{12}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1}{144}}$$

Förenkla.

$$x-\frac{5}{12}=\frac{1}{12} x-\frac{5}{12}=-\frac{1}{12}$$

Addera \frac{5}{12} till båda ekvationsled.

$$x=\frac{1}{2} x=\frac{1}{3}$$