Lös 6x^2+7x-5=0

$$6 { x }^{ 2 } +7x-5 = 0$$

Lös ut x

$$x = -\frac{5}{3} = -1\frac{2}{3} \approx -1,666666667$$

$$x=\frac{1}{2}=0,5$$

Steg med faktorisering genom gruppering

För att lösa ekvationen kan du faktor den vänstra delen med hjälp av gruppering. Första, vänstra sidan måste skrivas om som 6x^{2}+ax+bx-5. Konfigurera ett system som ska lösas om du vill söka efter a och b.

$$a+b=7 ab=6\left(-5\right)=-30$$

Eftersom ab är negativt a och b har motsatta tecken. Eftersom a+b är positivt har det positiva talet större absolut värde än det negativa. Lista alla sådana heltalspar som ger produkten -30.

$$-1,30 -2,15 -3,10 -5,6$$

Beräkna summan för varje par.

$$-1+30=29 -2+15=13 -3+10=7 -5+6=1$$

Lösningen är det par som ger Summa 7.

$$a=-3 b=10$$

Skriv om 6x^{2}+7x-5 som \left(6x^{2}-3x\right)+\left(10x-5\right).

$$\left(6x^{2}-3x\right)+\left(10x-5\right)$$

Utfaktor 3x i den första och den 5 i den andra gruppen.

$$3x\left(2x-1\right)+5\left(2x-1\right)$$

Bryt ut den gemensamma termen 2x-1 genom att använda distributivitet.

$$\left(2x-1\right)\left(3x+5\right)$$

Lös 2x-1=0 och 3x+5=0 om du vill hitta ekvations lösningar.

$$x=\frac{1}{2} x=-\frac{5}{3}$$

Steg med lösningsformeln

Alla ekvationer på formen ax^{2}+bx+c=0 kan lösas med hjälp av lösningsformeln: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Lösningsformeln ger två lösningar, en när ± är addition och en när det är subtraktion.

$$6x^{2}+7x-5=0$$

Den här ekvationen är skriven i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersätt a med 6, b med 7 och c med -5 i andragradsekvationen \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-7±\sqrt{7^{2}-4\times 6\left(-5\right)}}{2\times 6}$$

Kvadrera 7.

$$x=\frac{-7±\sqrt{49-4\times 6\left(-5\right)}}{2\times 6}$$

Multiplicera -4 med 6.

$$x=\frac{-7±\sqrt{49-24\left(-5\right)}}{2\times 6}$$

Multiplicera -24 med -5.

$$x=\frac{-7±\sqrt{49+120}}{2\times 6}$$

Addera 49 till 120.

$$x=\frac{-7±\sqrt{169}}{2\times 6}$$

Dra kvadratroten ur 169.

$$x=\frac{-7±13}{2\times 6}$$

Multiplicera 2 med 6.

$$x=\frac{-7±13}{12}$$

Lös nu ekvationen x=\frac{-7±13}{12} när ± är plus. Addera -7 till 13.

$$x=\frac{6}{12}$$

Minska bråktalet \frac{6}{12} till de lägsta termerna genom att extrahera och eliminera 6.

$$x=\frac{1}{2}$$

Lös nu ekvationen x=\frac{-7±13}{12} när ± är minus. Subtrahera 13 från -7.

$$x=-\frac{20}{12}$$

Minska bråktalet \frac{-20}{12} till de lägsta termerna genom att extrahera och eliminera 4.

$$x=-\frac{5}{3}$$

Ekvationen har lösts.

$$x=\frac{1}{2} x=-\frac{5}{3}$$

Steg för kvadratkomplettering

Andragradsekvationer som den här kan lösas med hjälp av kvadratkomplettering. För kvadratkomplettering måste ekvationen först skrivas om på formen x^{2}+bx=c.

$$6x^{2}+7x-5=0$$

Addera 5 till båda ekvationsled.

$$6x^{2}+7x-5-\left(-5\right)=-\left(-5\right)$$

Subtraktion av -5 från sig självt ger 0 som resultat.

$$6x^{2}+7x=-\left(-5\right)$$

Subtrahera -5 från 0.

$$6x^{2}+7x=5$$

Dividera båda led med 6.

$$\frac{6x^{2}+7x}{6}=\frac{5}{6}$$

Division med 6 tar ut multiplikationen med 6.

$$x^{2}+\frac{7}{6}x=\frac{5}{6}$$

Dividera \frac{7}{6}, koefficienten för termen x, med 2 för att få \frac{7}{12}. Addera sedan kvadraten av \frac{7}{12} till båda ekvationsleden. Det här steget gör ekvationens vänstra sida till en jämn kvadrat.

$$x^{2}+\frac{7}{6}x+\left(\frac{7}{12}\right)^{2}=\frac{5}{6}+\left(\frac{7}{12}\right)^{2}$$

Kvadrera \frac{7}{12} genom att kvadrera både täljaren och nämnaren i bråktalet.

$$x^{2}+\frac{7}{6}x+\frac{49}{144}=\frac{5}{6}+\frac{49}{144}$$

Addera \frac{5}{6} till \frac{49}{144} genom att hitta en gemensam nämnare och sedan addera täljarna. Förkorta sedan bråktalet till lägsta term om det går.

$$x^{2}+\frac{7}{6}x+\frac{49}{144}=\frac{169}{144}$$

Faktorisera x^{2}+\frac{7}{6}x+\frac{49}{144}. I allmänhet kan den alltid faktoriseras som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} när x^{2}+bx+c är en perfekt kvadrat.

$$\left(x+\frac{7}{12}\right)^{2}=\frac{169}{144}$$

Dra kvadratroten ur båda ekvationsled.

$$\sqrt{\left(x+\frac{7}{12}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{169}{144}}$$

Förenkla.

$$x+\frac{7}{12}=\frac{13}{12} x+\frac{7}{12}=-\frac{13}{12}$$

Subtrahera \frac{7}{12} från båda ekvationsled.

$$x=\frac{1}{2} x=-\frac{5}{3}$$