Lös 6x^2+5x+1=0

$$6 { x }^{ 2 } +5x+1=0$$

Lös ut x

$$x=-\frac{1}{3}\approx -0,333333333$$

$$x=-\frac{1}{2}=-0,5$$

Steg med faktorisering genom gruppering

För att lösa ekvationen kan du faktor den vänstra delen med hjälp av gruppering. Första, vänstra sidan måste skrivas om som 6x^{2}+ax+bx+1. Konfigurera ett system som ska lösas om du vill söka efter a och b.

$$a+b=5 ab=6\times 1=6$$

Eftersom ab är positivt a och b ha samma tecken. Eftersom a+b är positivt är a och b positiva. Lista alla sådana heltalspar som ger produkten 6.

$$1,6 2,3$$

Beräkna summan för varje par.

$$1+6=7 2+3=5$$

Lösningen är det par som ger Summa 5.

$$a=2 b=3$$

Skriv om 6x^{2}+5x+1 som \left(6x^{2}+2x\right)+\left(3x+1\right).

$$\left(6x^{2}+2x\right)+\left(3x+1\right)$$

Bryt ut 2x i 6x^{2}+2x.

$$2x\left(3x+1\right)+3x+1$$

Bryt ut den gemensamma termen 3x+1 genom att använda distributivitet.

$$\left(3x+1\right)\left(2x+1\right)$$

Lös 3x+1=0 och 2x+1=0 om du vill hitta ekvations lösningar.

$$x=-\frac{1}{3} x=-\frac{1}{2}$$

Steg med lösningsformeln

Alla ekvationer på formen ax^{2}+bx+c=0 kan lösas med hjälp av lösningsformeln: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Lösningsformeln ger två lösningar, en när ± är addition och en när det är subtraktion.

$$6x^{2}+5x+1=0$$

Den här ekvationen är skriven i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersätt a med 6, b med 5 och c med 1 i andragradsekvationen \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-5±\sqrt{5^{2}-4\times 6}}{2\times 6}$$

Kvadrera 5.

$$x=\frac{-5±\sqrt{25-4\times 6}}{2\times 6}$$

Multiplicera -4 med 6.

$$x=\frac{-5±\sqrt{25-24}}{2\times 6}$$

Addera 25 till -24.

$$x=\frac{-5±\sqrt{1}}{2\times 6}$$

Dra kvadratroten ur 1.

$$x=\frac{-5±1}{2\times 6}$$

Multiplicera 2 med 6.

$$x=\frac{-5±1}{12}$$

Lös nu ekvationen x=\frac{-5±1}{12} när ± är plus. Addera -5 till 1.

$$x=-\frac{4}{12}$$

Minska bråktalet \frac{-4}{12} till de lägsta termerna genom att extrahera och eliminera 4.

$$x=-\frac{1}{3}$$

Lös nu ekvationen x=\frac{-5±1}{12} när ± är minus. Subtrahera 1 från -5.

$$x=-\frac{6}{12}$$

Minska bråktalet \frac{-6}{12} till de lägsta termerna genom att extrahera och eliminera 6.

$$x=-\frac{1}{2}$$

Ekvationen har lösts.

$$x=-\frac{1}{3} x=-\frac{1}{2}$$

Steg för kvadratkomplettering

Andragradsekvationer som den här kan lösas med hjälp av kvadratkomplettering. För kvadratkomplettering måste ekvationen först skrivas om på formen x^{2}+bx=c.

$$6x^{2}+5x+1=0$$

Subtrahera 1 från båda ekvationsled.

$$6x^{2}+5x+1-1=-1$$

Subtraktion av 1 från sig självt ger 0 som resultat.

$$6x^{2}+5x=-1$$

Dividera båda led med 6.

$$\frac{6x^{2}+5x}{6}=-\frac{1}{6}$$

Division med 6 tar ut multiplikationen med 6.

$$x^{2}+\frac{5}{6}x=-\frac{1}{6}$$

Dividera \frac{5}{6}, koefficienten för termen x, med 2 för att få \frac{5}{12}. Addera sedan kvadraten av \frac{5}{12} till båda ekvationsleden. Det här steget gör ekvationens vänstra sida till en jämn kvadrat.

$$x^{2}+\frac{5}{6}x+\left(\frac{5}{12}\right)^{2}=-\frac{1}{6}+\left(\frac{5}{12}\right)^{2}$$

Kvadrera \frac{5}{12} genom att kvadrera både täljaren och nämnaren i bråktalet.

$$x^{2}+\frac{5}{6}x+\frac{25}{144}=-\frac{1}{6}+\frac{25}{144}$$

Addera -\frac{1}{6} till \frac{25}{144} genom att hitta en gemensam nämnare och sedan addera täljarna. Förkorta sedan bråktalet till lägsta term om det går.

$$x^{2}+\frac{5}{6}x+\frac{25}{144}=\frac{1}{144}$$

Faktorisera x^{2}+\frac{5}{6}x+\frac{25}{144}. I allmänhet kan den alltid faktoriseras som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} när x^{2}+bx+c är en perfekt kvadrat.

$$\left(x+\frac{5}{12}\right)^{2}=\frac{1}{144}$$

Dra kvadratroten ur båda ekvationsled.

$$\sqrt{\left(x+\frac{5}{12}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1}{144}}$$

Förenkla.

$$x+\frac{5}{12}=\frac{1}{12} x+\frac{5}{12}=-\frac{1}{12}$$

Subtrahera \frac{5}{12} från båda ekvationsled.

$$x=-\frac{1}{3} x=-\frac{1}{2}$$