Lös 6x^2+11x+3=0

$$6 { x }^{ 2 } +11x+3=0$$

Lös ut x

$$x = -\frac{3}{2} = -1\frac{1}{2} = -1,5$$

$$x=-\frac{1}{3}\approx -0,333333333$$

Steg med faktorisering genom gruppering

För att lösa ekvationen kan du faktor den vänstra delen med hjälp av gruppering. Första, vänstra sidan måste skrivas om som 6x^{2}+ax+bx+3. Konfigurera ett system som ska lösas om du vill söka efter a och b.

$$a+b=11 ab=6\times 3=18$$

Eftersom ab är positivt a och b ha samma tecken. Eftersom a+b är positivt är a och b positiva. Lista alla sådana heltalspar som ger produkten 18.

$$1,18 2,9 3,6$$

Beräkna summan för varje par.

$$1+18=19 2+9=11 3+6=9$$

Lösningen är det par som ger Summa 11.

$$a=2 b=9$$

Skriv om 6x^{2}+11x+3 som \left(6x^{2}+2x\right)+\left(9x+3\right).

$$\left(6x^{2}+2x\right)+\left(9x+3\right)$$

Utfaktor 2x i den första och den 3 i den andra gruppen.

$$2x\left(3x+1\right)+3\left(3x+1\right)$$

Bryt ut den gemensamma termen 3x+1 genom att använda distributivitet.

$$\left(3x+1\right)\left(2x+3\right)$$

Lös 3x+1=0 och 2x+3=0 om du vill hitta ekvations lösningar.

$$x=-\frac{1}{3} x=-\frac{3}{2}$$

Steg med lösningsformeln

Alla ekvationer på formen ax^{2}+bx+c=0 kan lösas med hjälp av lösningsformeln: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Lösningsformeln ger två lösningar, en när ± är addition och en när det är subtraktion.

$$6x^{2}+11x+3=0$$

Den här ekvationen är skriven i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersätt a med 6, b med 11 och c med 3 i andragradsekvationen \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-11±\sqrt{11^{2}-4\times 6\times 3}}{2\times 6}$$

Kvadrera 11.

$$x=\frac{-11±\sqrt{121-4\times 6\times 3}}{2\times 6}$$

Multiplicera -4 med 6.

$$x=\frac{-11±\sqrt{121-24\times 3}}{2\times 6}$$

Multiplicera -24 med 3.

$$x=\frac{-11±\sqrt{121-72}}{2\times 6}$$

Addera 121 till -72.

$$x=\frac{-11±\sqrt{49}}{2\times 6}$$

Dra kvadratroten ur 49.

$$x=\frac{-11±7}{2\times 6}$$

Multiplicera 2 med 6.

$$x=\frac{-11±7}{12}$$

Lös nu ekvationen x=\frac{-11±7}{12} när ± är plus. Addera -11 till 7.

$$x=-\frac{4}{12}$$

Minska bråktalet \frac{-4}{12} till de lägsta termerna genom att extrahera och eliminera 4.

$$x=-\frac{1}{3}$$

Lös nu ekvationen x=\frac{-11±7}{12} när ± är minus. Subtrahera 7 från -11.

$$x=-\frac{18}{12}$$

Minska bråktalet \frac{-18}{12} till de lägsta termerna genom att extrahera och eliminera 6.

$$x=-\frac{3}{2}$$

Ekvationen har lösts.

$$x=-\frac{1}{3} x=-\frac{3}{2}$$

Steg för kvadratkomplettering

Andragradsekvationer som den här kan lösas med hjälp av kvadratkomplettering. För kvadratkomplettering måste ekvationen först skrivas om på formen x^{2}+bx=c.

$$6x^{2}+11x+3=0$$

Subtrahera 3 från båda ekvationsled.

$$6x^{2}+11x+3-3=-3$$

Subtraktion av 3 från sig självt ger 0 som resultat.

$$6x^{2}+11x=-3$$

Dividera båda led med 6.

$$\frac{6x^{2}+11x}{6}=-\frac{3}{6}$$

Division med 6 tar ut multiplikationen med 6.

$$x^{2}+\frac{11}{6}x=-\frac{3}{6}$$

Minska bråktalet \frac{-3}{6} till de lägsta termerna genom att extrahera och eliminera 3.

$$x^{2}+\frac{11}{6}x=-\frac{1}{2}$$

Dividera \frac{11}{6}, koefficienten för termen x, med 2 för att få \frac{11}{12}. Addera sedan kvadraten av \frac{11}{12} till båda ekvationsleden. Det här steget gör ekvationens vänstra sida till en jämn kvadrat.

$$x^{2}+\frac{11}{6}x+\left(\frac{11}{12}\right)^{2}=-\frac{1}{2}+\left(\frac{11}{12}\right)^{2}$$

Kvadrera \frac{11}{12} genom att kvadrera både täljaren och nämnaren i bråktalet.

$$x^{2}+\frac{11}{6}x+\frac{121}{144}=-\frac{1}{2}+\frac{121}{144}$$

Addera -\frac{1}{2} till \frac{121}{144} genom att hitta en gemensam nämnare och sedan addera täljarna. Förkorta sedan bråktalet till lägsta term om det går.

$$x^{2}+\frac{11}{6}x+\frac{121}{144}=\frac{49}{144}$$

Faktorisera x^{2}+\frac{11}{6}x+\frac{121}{144}. I allmänhet kan den alltid faktoriseras som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} när x^{2}+bx+c är en perfekt kvadrat.

$$\left(x+\frac{11}{12}\right)^{2}=\frac{49}{144}$$

Dra kvadratroten ur båda ekvationsled.

$$\sqrt{\left(x+\frac{11}{12}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{49}{144}}$$

Förenkla.

$$x+\frac{11}{12}=\frac{7}{12} x+\frac{11}{12}=-\frac{7}{12}$$

Subtrahera \frac{11}{12} från båda ekvationsled.

$$x=-\frac{1}{3} x=-\frac{3}{2}$$